Wurfbewegung

Ein Ball mit zwei Bewegungen gleichzeitig

Bei einer Wurfbewegung folgt ein Objekt $einer gekrümmten Bahn$ , weil es sich gleichzeitig horizontal und vertikal bewegt. Dieses Modell vernachlässigt den Luftwiderstand. Die einzige Beschleunigung ist daher die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung.

Wir untersuchen die Bewegung getrennt in horizontaler und vertikaler Richtung. Horizontal liegt eine gleichförmige geradlinige Bewegung vor, weil die Geschwindigkeit dort konstant bleibt. Vertikal handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, weil die Schwerkraft die vertikale Geschwindigkeit fortlaufend verändert.

Wir wählen die horizontale Abwurfrichtung als positive $x$ -Richtung und $nach oben$ als positive $y$ -Richtung.

x(t)=x_0+v_0\cos\theta\ t

Dabei ist $v_0$ der Anfangsgeschwindigkeitsbetrag, $\theta$ der Abwurfwinkel zur Horizontalen, $g$ der Betrag der Gravitationsbeschleunigung und $t$ die Zeit seit dem Abwurf. Die Koordinaten $x_0$ und $y_0$ bezeichnen die Abwurfposition. Setzt man beide null, entstehen die häufig verwendeten kürzeren Formeln.

In der Abbildung bleiben Ball und Anfangsgeschwindigkeit gleich. So lässt sich vergleichen, wie der Abwurfwinkel den Scheitelpunkt und die Wurfweite verändert.

Flugbahn eines geworfenen Balls

Verändere den Abwurfwinkel. Der Ball bewegt sich horizontal weiter, während die Schwerkraft seine Höhe verändert.

Anfangsgeschwindigkeitsbetrag: $v_0=22\text{ m/s}$
Zeit in der Luft: $T=3{,}1\text{ s}$
Wurfweite: $R=48{,}4\text{ m}$
Maximale Höhe: $h_{\max}=12{,}1\text{ m}$

Die Schwerkraft verändert nur den vertikalen Anteil

Stelle dir einen Ball vor, der eine Rampe schräg verlässt. Seine horizontale Bewegung läuft mit gleichbleibender Geschwindigkeit weiter. Vertikal wird er beim Aufsteigen langsamer und beim Fallen schneller.

Bei einer Projektilbewegung ohne Luftwiderstand bleibt $v_x$ konstant, aber $v_y$ ändert sich jeden Moment.

Das Objekt verliert oben nicht seine horizontale Bewegung. Nur $die Vertikalgeschwindigkeit wird dort Null$ .

Bewegungsanteil	Was geschieht?	Bewegungsart
Horizontal	$v_x$ bleibt konstant	Horizontale Beschleunigung ist null
Vertikal beim Aufsteigen	Positives $v_y$ sinkt bis auf null	Konstante Beschleunigung $-g$
Vertikal beim Fallen	$v_y$ ist negativ und sein Betrag wächst	Konstante Beschleunigung $-g$

Die Wurfweite folgt aus der Flugzeit

Die horizontale Wurfweite, meist mit $R$ bezeichnet, ist die horizontale Entfernung vom Start- bis zum Landepunkt. Weil die horizontale Geschwindigkeit konstant ist, ergibt sich die Wurfweite aus $horizontaler Geschwindigkeit mal Flugzeit$ .

R=v_x t_{\text{Luft}}

Haben zwei Bälle dasselbe $v_x$ , landet der Ball mit der längeren Flugzeit weiter entfernt. Bei gleicher Flugzeit erreicht der Ball mit dem größeren $v_x$ die größere Wurfweite.

Ein Ball verlässt einen Tisch waagerecht

Ein Ball verlässt eine Tischkante waagerecht mit $v_x=4\text{ m/s}$ . Der Tisch ist $1{,}25\text{ m}$ hoch. Mit $g=10\text{ m/s}^2$ folgt die $Fallzeit aus der vertikalen Bewegung$ :

\begin{aligned} h&=\frac{1}{2}gt^2\\ 1{,}25&=\frac{1}{2}(10)t^2\\ t^2&=0{,}25\\ t&=0{,}5\text{ s} \end{aligned}

Die horizontale Wurfweite beträgt:

R=v_x t=4(0{,}5)=2\text{ m}

Der Ball landet also $2\text{ m}$ vom Fußpunkt der Tischkante entfernt. Die Fallzeit wird durch die vertikale Bewegung bestimmt. Die horizontale Bewegung legt fest, welche Strecke der Ball während genau dieser Zeit nach vorn zurücklegt.