Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Gleiche Geschwindigkeitsänderung in gleichen Zeitintervallen

Eine gleichmäßig beschleunigte lineare Bewegung ist eine Bewegung entlang einer geraden Bahn mit konstanter Beschleunigung. Konstante Beschleunigung bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit in jedem gleichen Zeitintervall $um den gleichen Betrag ändert$ .

Startet ein Auto mit $0\text{ m/s}$ und nimmt seine Geschwindigkeit in jeder Sekunde um $2\text{ m/s}$ zu, lauten die aufeinanderfolgenden Werte $2$ , $4$ , $6$ und so weiter. Derselbe Zuwachs wiederholt sich in jeder Sekunde.

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung bleibt die Beschleunigung konstant, während sich die Geschwindigkeit gleichmäßig ändert.

v_t=v_0+at

Hier ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit, $v_t$ die Geschwindigkeit nach der Zeit $t$ , $a$ die Beschleunigung und $\Delta x$ die Verschiebung.

Positionsmarkierungen bleiben nicht mehr gleichmäßig verteilt

Bei einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung haben die Positionsmarken für jede Sekunde denselben Abstand. Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung können sich diese Abstände verändern. Solange sich das Objekt in $dieselbe Richtung$ bewegt, wachsen die Abstände bei zunehmendem Geschwindigkeitsbetrag und schrumpfen bei abnehmendem Betrag. Bei einer Richtungsumkehr müssen zusätzlich die Reihenfolge und die Seite der Marken betrachtet werden.

Betrachte den Fall „Aus der Ruhe“. Im ersten Augenblick steht das Auto noch. Danach werden die Abstände zwischen den Positionsmarken immer größer. Daran ist die zunehmende Geschwindigkeit zu erkennen. Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm steigt die Linie geradlinig an, weil die Beschleunigung konstant ist.

Positionsmarken auf einer Schiene

Marken auf der Schiene zeigen die Position des Zuges im Abstand von

1\text{ s}

, während die Beschleunigung konstant bleibt.

Anfangsgeschwindigkeit: $v_0=0\text{ m/s}$
Beschleunigung: $a=+4\text{ m/s}^2$
Endgeschwindigkeit: $v_t=+20\text{ m/s}$
Verschiebung: $\Delta x=50\text{ m}$

Verschiebung aus der Diagrammfläche berechnen

Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt die Geschwindigkeit. Die $vorzeichenbehaftete Fläche$ zwischen dem Diagramm und der Zeitachse stellt zusätzlich die Verschiebung dar. Oberhalb der Zeitachse kann diese Fläche bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ein Dreieck oder ein Trapez sein. Eine Fläche unterhalb der Achse trägt eine negative Verschiebung bei.

Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen

Wähle dieselbe Bewegung und berechne die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen dem Diagramm und der Zeitachse als Verschiebung des Objekts.

Situation	Flächenform im Diagramm	Verschiebungsformel
Start aus der Ruhe	Dreieck	$\Delta x=\frac{1}{2}at^2$
Anfangs- und Endgeschwindigkeit sind positiv	Trapez	$\Delta x=\frac{1}{2}(v_0+v_t)t$
Verwendet die Beschleunigung direkt	Rechteck plus Dreieck	$\Delta x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$

Diese Formeln drücken dieselbe Beziehung aus: Die Verschiebung ist die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und der Zeitachse.

Auto startet aus dem Ruhezustand

Ein Spielzeugauto startet aus dem Ruhezustand und hat dann eine konstante Beschleunigung $2\text{ m/s}^2$ für $5\text{ s}$ .

Seine Endgeschwindigkeit beträgt:

\begin{aligned} v_t &= v_0+at \\ &= 0+2(5) \\ &= 10\text{ m/s} \end{aligned}

Seine Verschiebung beträgt:

\begin{aligned} \Delta x &= v_0t+\frac{1}{2}at^2 \\ &= 0(5)+\frac{1}{2}(2)(5^2) \\ &= 25\text{ m} \end{aligned}

Nach $5\text{ s}$ bewegt sich das Auto also mit $10\text{ m/s}$ und hat seine Position gegenüber dem Startpunkt um $25\text{ m}$ verändert.

Die beiden Ergebnisse beantworten unterschiedliche Fragen. Die Endgeschwindigkeit gibt Betrag und Richtung der Bewegung am Ende an, während die Verschiebung die gesamte Positionsänderung im Intervall angibt.

Du kannst die Verschiebung über die $Dreiecksfläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm$ überprüfen. Die Grundseite ist das Zeitintervall, die Höhe die Endgeschwindigkeit.

\Delta x=\frac{1}{2}(5\text{ s})(10\text{ m/s})=25\text{ m}

Das Beschleunigungsvorzeichen hängt von der positiven Richtung ab

Bei eindimensionaler Bewegung hängen positive und negative Vorzeichen von der $gewählten positiven Richtung$ ab. Wenn rechts positiv ist, bedeutet eine positive Beschleunigung, dass die Geschwindigkeitsänderung nach rechts zeigt.

Eine negative Beschleunigung bedeutet nicht automatisch, dass sich das Objekt nach links bewegt. Ein Auto kann sich trotz negativer Beschleunigung immer noch nach rechts bewegen, wenn es bremst. Seine Geschwindigkeit zeigt nach rechts, aber ihr Betrag wird kleiner.