Physikalische Dimensionen

Die Dimension beschreibt die Art einer Größe

Im Alltag bezeichnet Dimension oft eine räumliche Größe wie Länge, Breite oder Höhe. In der Physik hat $Dimension$ eine genauere Bedeutung: Sie zeigt, aus welchen Grundgrößen sich eine physikalische Größe zusammensetzt.

Schraubenlänge, Mutterdurchmesser, Kugelradius und zurückgelegter Weg können zum Beispiel in unterschiedlichen Einheiten angegeben werden. Trotzdem gehören sie alle zur gleichen Größenart.

Länge, Durchmesser, Radius und Abstand haben alle die Längendimension $[\mathrm{L}]$ .

Eine Dimension nennt nicht den gemessenen Wert. Sie bezeichnet die Art der physikalischen Größe, die gemessen wird.

Potenzen der Längendimension erkennen

Die Darstellung unten konzentriert sich auf die Längendimension. Wechsle von der Länge zur Fläche und anschließend zum Volumen. Beobachte, wie ein, zwei und drei $Längenfaktoren$ die Dimensionen $[\mathrm{L}]$ , $[\mathrm{L}]^2$ und $[\mathrm{L}]^3$ ergeben.

Von der Länge zur Fläche und zum Volumen

Wähle eine Form, die aus Längenfaktoren aufgebaut ist. Vergleiche dann ihre Formel, ihre SI-Einheit und ihre Dimension.

Formel: $s$
SI-Einheit: $\text{m}$
Dimension: $[\mathrm{L}]$

Grundgrößen in der Dimensionsanalyse

Das Internationale Einheitensystem, kurz SI, verwendet $7$ Grundgrößen. Die Dimension einer abgeleiteten Größe wird als $Produkt von Potenzen$ der sieben Grunddimensionen geschrieben.

Grundgröße	Beispielsymbol	Dimension
Länge	$\ell,\ x,\ r$	$[\mathrm{L}]$
Masse	$m$	$[\mathrm{M}]$
Zeit	$t$	$[\mathrm{T}]$
Elektrischer Strom	$I$	$[\mathrm{I}]$
Thermodynamische Temperatur	$T$	$[\Theta]$
Stoffmenge	$n$	$[\mathrm{N}]$
Lichtstärke	$I_v$	$[\mathrm{J}]$

Eckige Klammern unterscheiden Dimensionen von Einheiten. So bezeichnet $[\mathrm{L}]$ die Dimension Länge, während $\text{m}$ für die Einheit Meter steht.

Dimensionen aus Formeln ableiten

Bei einer Dimensionsanalyse ersetzt man $jede Größe in der Formel durch ihre Dimension$ und vereinfacht anschließend die Potenzen.

\begin{aligned} [A] &= [l][w] = [\mathrm{L}][\mathrm{L}] = [\mathrm{L}]^2 \\ [V] &= [l][w][h] = [\mathrm{L}]^3 \\ [v] &= \frac{[\Delta s]}{[\Delta t]} = \frac{[\mathrm{L}]}{[\mathrm{T}]} = [\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-1} \\ [a] &= \frac{[\Delta v]}{[\Delta t]} = \frac{[\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-1}}{[\mathrm{T}]} = [\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-2} \end{aligned}

Auf dieselbe Weise lassen sich Kraft, Arbeit und Leistung als Dimensionsstrukturen lesen.

\begin{aligned} [F] &= [m][a] = [\mathrm{M}][\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-2} \\ [W] &= [F][\Delta s] = [\mathrm{M}][\mathrm{L}]^2[\mathrm{T}]^{-2} \\ [P] &= \frac{[W]}{[t]} = [\mathrm{M}][\mathrm{L}]^2[\mathrm{T}]^{-3} \end{aligned}

Die Dimensionskonsistenz einer Formel prüfen

Mit Dimensionen lässt sich prüfen, ob eine Formel überhaupt stimmen kann. Größen, die addiert werden, $müssen dieselbe Dimension besitzen$ .

Betrachte die Wegformel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2

Ersetze nun jeden Term durch seine Dimension:

\begin{aligned} [v_0t] &= [\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-1}[\mathrm{T}] = [\mathrm{L}] \\ [at^2] &= [\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-2}[\mathrm{T}]^2 = [\mathrm{L}] \end{aligned}

Beide Terme auf der rechten Seite haben die Dimension $[\mathrm{L}]$ . Die Formel besteht damit die Dimensionsprüfung. Das beweist noch nicht, dass sie vollständig korrekt ist, schließt aber viele unmögliche Formeln sofort aus.

$s+t$ ist hier ungültig, weil die Dimensionen verschieden sind: $[\mathrm L]\ne[\mathrm T]$ .

An einem Objekt lassen sich mehrere Größen messen

Schraube und Mutter sind kleine Gegenstände, an denen dennoch mehrere Größen gemessen werden können. Für ein einziges Objekt können deshalb unterschiedliche Messwerkzeuge nötig sein.

Was wird überprüft	Passendes Werkzeug	Dimension
Schraubenlänge	Lineal oder Messschieber	$[\mathrm{L}]$
Außendurchmesser	Messschieber oder Mikrometerschraube	$[\mathrm{L}]$
Querschnittsfläche	berechnet aus Durchmesser	$[\mathrm{L}]^2$
Materialvolumen	berechnet aus der räumlichen Größe	$[\mathrm{L}]^3$
Masse	Waage	$[\mathrm{M}]$
Dichte	Masse geteilt durch Volumen	$[\mathrm{M}][\mathrm{L}]^{-3}$

Zwei Geräte können also dieselbe Dimension messen und trotzdem für verschiedene Situationen gedacht sein. Für eine größere Länge ohne hohe Genauigkeitsanforderung genügt ein Lineal. Bei einem kleinen Durchmesser, der genauer abgelesen werden muss, eignet sich ein Messschieber oder eine Mikrometerschraube besser.

Die Grenze der Prüfung zeigt sich, wenn wir $\frac{1}{2}$ aus der Verschiebungsformel weglassen. Auch $s=v_0t+at^2$ besitzt auf beiden Seiten die Dimension Länge, ergibt bei konstanter Beschleunigung ungleich null aber eine falsche Verschiebung. $Dimensionen bestimmen keine Zahlenfaktoren$ wie $\frac{1}{2}$ .