Wissenschaftliche Schreibweise

Zahlen mit vielen Nullen schreiben

In der Physik begegnen uns Werte, die für die gewöhnliche Dezimalschreibweise unhandlich groß oder klein sind. Eine Fläche von $0{,}000764 \text{ m}^2$ ist noch lesbar. Die ungefähre Elektronenmasse in Kilogramm ist schwieriger zu schreiben: Nach dem Komma stehen $30$ Nullen, dann folgen die Ziffern $911$ . Dabei verliert man leicht eine Null.

Die $wissenschaftliche Schreibweise$ zerlegt einen Wert in einen Koeffizienten und eine Potenz von $10$ .

a \times 10^n

Für positive Werte gilt die Standardform:

1 \le a < 10 \quad \text{und} \quad n \in \mathbb{Z}

Der Koeffizient $a$ enthält die signifikanten Stellen. Der Exponent $n$ gibt die Größenordnung an.

Die Elektronenmasse von oben lässt sich damit kürzer schreiben:

9{,}11 \times 10^{-31} \text{ kg}

Das Komma verschieben ohne den Wert zu ändern

Verschiebe das Dezimalkomma so weit, bis der Koeffizient zwischen $1$ und $10$ liegt. Die Anzahl der Stellen bestimmt den Exponenten.

Ausgangswert	Verschiebung des Kommas	Wissenschaftliche Schreibweise
$7\,640\,000 \text{ m}$	$6$ Stellen nach links	$7{,}64 \times 10^6 \text{ m}$
$0{,}000764 \text{ m}^2$	$4$ Stellen nach rechts	$7{,}64 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$0{,}000000911 \text{ kg}$	$7$ Stellen nach rechts	$9{,}11 \times 10^{-7} \text{ kg}$

$Wandert das Komma nach links$ , ist der Exponent positiv. Wandert es nach rechts, ist der Exponent negativ.

\begin{aligned} 7\,640\,000 &= 7{,}64 \times 10^6 \\ 0{,}000764 &= 7{,}64 \times 10^{-4} \end{aligned}

Signifikante Stellen im Koeffizienten

Die Anzahl der signifikanten Stellen liest du $am Koeffizienten$ ab. Die Potenz von $10$ legt die Größenordnung fest.

Wissenschaftliche Schreibweise	Signifikante Stellen	Begründung
$7{,}64 \times 10^{-4} \text{ m}^2$	$3$	Der Koeffizient beträgt $7{,}64$
$1{,}0 \times 10^{-7} \text{ m}$	$2$	Die Null nach dem Komma in $1{,}0$ ist gewollt
$1 \times 10^3 \text{ m}$	$1$	Der Koeffizient beträgt nur $1$
$1{,}000 \times 10^3 \text{ m}$	$4$	Die Nullen in $1{,}000$ geben die Genauigkeit an

Die wissenschaftliche Schreibweise hält die beabsichtigte Genauigkeit eines Messwerts fest. Bei $1000 \text{ m}$ bleibt offen, ob die abschließenden Nullen signifikant sind. $1{,}000 \times 10^3 \text{ m}$ weist dagegen ausdrücklich $4$ signifikante Stellen aus.

Rundungsreserve bis zur endgültigen Angabe behalten

Die wissenschaftliche Schreibweise darf keine frühe Rundung erzwingen. Rechne und konvertiere mit zusätzlichen Stellen und runde den endgültigen Berichtswert $genau einmal$ .

Ein Flaschendeckel mit dem Durchmesser $3{,}12 \text{ cm}$ hat die folgende berechnete Fläche, wenn der Rechnerwert von $\pi$ beibehalten wird:

A=\frac{1}{4}\pi(3{,}12 \text{ cm})^2=7{,}645379881\ldots \text{cm}^2

Verwende die exakte Zehnerpotenz zur Umrechnung in das Internationale Einheitensystem, kurz SI, bevor du die zusätzlichen Stellen entfernst.

\begin{aligned} 1 \text{ cm} &= 10^{-2} \text{ m} \\ 1 \text{ cm}^2 &= (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-4} \text{ m}^2 \\ 7{,}645379881\ldots \text{cm}^2 &= 7{,}645379881\ldots \times 10^{-4} \text{ m}^2 \end{aligned}

Der gemessene Durchmesser trägt $3$ signifikante Stellen. Das endgültige SI-Ergebnis lautet daher $7{,}65 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ .

Bei potenzierten Einheiten wird auch der Umrechnungsfaktor potenziert. Von $\text{cm}$ zu $\text{m}$ beträgt der Faktor $10^{-2}$ , von $\text{cm}^2$ zu $\text{m}^2$ dagegen $10^{-4}$ .

Rechnungen mit wissenschaftlicher Schreibweise

In wissenschaftlicher Schreibweise werden die $Koeffizienten multipliziert$ und die Exponenten von $10$ getrennt addiert.

Angenommen, ein sehr kleines Objekt hat die Länge $2{,}5 \times 10^{-6} \text{ m}$ und die Breite $4{,}0 \times 10^{-7} \text{ m}$ .

\begin{aligned} A &= (2{,}5 \times 10^{-6})(4{,}0 \times 10^{-7}) \text{ m}^2 \\ &= (2{,}5 \times 4{,}0) \times 10^{-6+(-7)} \text{ m}^2 \\ &= 10{,}0 \times 10^{-13} \text{ m}^2 \\ &= 1{,}0 \times 10^{-12} \text{ m}^2 \end{aligned}

Der letzte Schritt erfüllt zwei Aufgaben. Der Koeffizient $10{,}0$ gehört nicht zur Standardform, weil er nicht kleiner als $10$ ist. Außerdem tragen beide gemessenen Längen nur $2$ signifikante Stellen. Deshalb wird das Ergebnis als $1{,}0 \times 10^{-12}$ angegeben.

Die offiziellen Schreibregeln findest du in NIST SP 811 Kapitel 7, die Umrechnungsfaktoren in NIST SP 811 Anhang B.