Signifikante Stellen

Die Messauflösung bestimmt die angegebenen Stellen

Wird der Durchmesser eines Flaschendeckels als $3{,}12 \text{ cm}$ abgelesen, kann ein Rechner für die Fläche viele weitere Ziffern ausgeben. Die Auflösung des Messgeräts begrenzt, wie viele dieser Ziffern angegeben werden können. Die Regeln für $signifikante Stellen$ legen fest, welche Ziffern in das Endergebnis gehören.

Signifikante Stellen sind $die Ziffern, die beibehalten werden$ , um die Auflösung eines Messwerts auszudrücken. Gib den Messwert nur bis zu der Dezimalstelle an, die das Gerät unterstützt. Die letzte angegebene Ziffer kennzeichnet die Ablesegrenze und kann sich beim Runden ändern.

Diese Regel verhindert, dass ein Ergebnis genauer wirkt als das verwendete Messwerkzeug.

Situation	Zu beantwortende Frage
Eine Messung ablesen	Welche Ziffern werden vom Messgerät tatsächlich getragen?
Addition und Subtraktion	Welche Daten haben die geringste Anzahl an Dezimalstellen?
Multiplikation und Division	Welcher Messwert hat die wenigsten signifikanten Stellen?

Eine Null kann zählen oder nur den Stellenwert markieren

Bei Nullen entscheidet $ihre Position$ darüber, ob sie signifikant sind.

Schreibweise des Messwerts	So werden die signifikanten Stellen gelesen
$3{,}25 \text{ cm}$	Jede Ziffer ungleich Null zählt, daher gibt es $3$ signifikante Ziffern.
$1{,}004 \text{ cm}$	Nullen zwischen Ziffern ungleich Null zählen, es gibt also $4$ signifikante Ziffern.
$31{,}00 \text{ cm}$	Nullen nach dem Dezimalpunkt zählen, sodass $4$ signifikante Ziffern vorhanden sind.
$0{,}0026 \text{ kg}$	Nullen vor der ersten Ziffer ungleich Null enthalten nur Stellenwerte, daher gibt es $2$ signifikante Ziffern.
$1000 \text{ m}$	Die nachgestellten Nullen sind ohne Angabe der Auflösung oder Stellenzahl mehrdeutig.
$3{,}14 \times 10^{-5} \text{ m}$	Der Koeffizient $3{,}14$ hat $3$ signifikante Stellen.

In der wissenschaftlichen Schreibweise gibt eine Potenz wie $10^{-5}$ nur die Größenordnung an. Sie fügt keine signifikante Stelle hinzu.

In der wissenschaftlichen Schreibweise ist eindeutig, welche nachgestellten Nullen signifikant sind, denn jede Ziffer des Koeffizienten wird gezählt.

Mit $1$ signifikanten Stelle:

1000\text{ m}=1\times10^3\text{ m}

Mit $4$ signifikanten Stellen:

1000\text{ m}=1{,}000\times10^3\text{ m}

Einmal anhand der ersten wegfallenden Ziffer runden

Steht die zulässige Stellenzahl fest, entscheidet die $erste wegfallende Ziffer$ über das Runden.

Erste weggelassene Ziffer	Entscheidung
$<5$	Die letzte beibehaltene Ziffer bleibt unverändert.
$>5$ oder $5$ mit einer folgenden Ziffer ungleich null	Die letzte beibehaltene Ziffer wird um $1$ erhöht.
Genau $5$ , auf die nur Nullen folgen	Runde zur geraden Zahl: Eine gerade letzte Ziffer bleibt, eine ungerade wird um $1$ erhöht.

Soll eine berechnete Fläche von $52{,}976686625 \text{ cm}^2$ mit $4$ signifikanten Stellen angegeben werden, ist die nächste Ziffer $6$ .

52{,}976686625 \text{ cm}^2 \to 52{,}98 \text{ cm}^2

Beim Wert $52{,}973376625 \text{ cm}^2$ ist die nächste Ziffer dagegen $3$ .

52{,}973376625 \text{ cm}^2 \to 52{,}97 \text{ cm}^2

Bei einem exakten Halbwert verhindert die Rundung zur geraden Zahl, dass eine lange Wertfolge systematisch nach oben verzerrt wird.

\begin{aligned} 7{,}450 &\to 7{,}4 \\ 7{,}550 &\to 7{,}6 \end{aligned}

Runde direkt vom ungerundeten Wert auf die endgültige Genauigkeit. Runde nicht über mehrere Zwischenwerte.

Summen nach der geringsten Anzahl an Dezimalstellen runden

Bei Addition und Subtraktion richtet sich das Ergebnis nach den Nachkommastellen. Der Messwert mit den $wenigsten Nachkommastellen$ bestimmt die letzte zulässige Stelle.

Ein Eisenstab mit $8{,}235 \text{ cm}$ Länge wird mit einem zweiten Stab von $4{,}5 \text{ cm}$ verbunden.

\begin{aligned} 8{,}235 \text{ cm}+4{,}5 \text{ cm} &= 12{,}735 \text{ cm} \\ &\to 12{,}7 \text{ cm} \end{aligned}

Der Wert $12{,}735 \text{ cm}$ wird auf $1$ Nachkommastelle gerundet, weil $4{,}5 \text{ cm}$ ebenfalls nur $1$ Nachkommastelle besitzt.

Produkte nach der kleinsten Anzahl signifikanter Stellen runden

Wenn eine Rechnung nur signifikante Stellen berücksichtigt, wird das Ergebnis einer Multiplikation oder Division auf die $kleinste Anzahl signifikanter Stellen$ der Messwerte gerundet. Diese Kurzregel ersetzt keine Berechnung der Messunsicherheit.

Ein Rechteck sei $12{,}455 \text{ cm}$ breit und $35{,}2 \text{ cm}$ lang.

\begin{aligned} A &= l \times w \\ &= 35{,}2 \text{ cm} \times 12{,}455 \text{ cm} \\ &= 438{,}416 \text{ cm}^2 \\ &\to 438 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Der Wert $12{,}455 \text{ cm}$ hat $5$ signifikante Stellen, $35{,}2 \text{ cm}$ dagegen nur $3$ . Deshalb wird die Fläche mit $3$ signifikanten Stellen angegeben.

Bei einem Flaschendeckel mit dem Durchmesser $3{,}12 \text{ cm}$ begrenzen exakte Formelfaktoren wie $\pi$ und $\frac{1}{4}$ die Stellenzahl nicht, weil sie keine Messdaten sind. Verwende den Rechnerwert von $\pi$ und behalte bis zur letzten Zeile zusätzliche Stellen.

\begin{aligned} A &= \frac{1}{4}\pi d^2 \\ &= \frac{1}{4}\pi(3{,}12 \text{ cm})^2 \\ &= 7{,}645379881\ldots \text{cm}^2 \\ &\to 7{,}65 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Ist eine SI-Angabe verlangt, wird $\text{cm}^2$ in $\text{m}^2$ umgerechnet.

\begin{aligned} 7{,}65 \text{ cm}^2 &= 0{,}000765 \text{ m}^2 \\ &= 7{,}65 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \end{aligned}

Bei Addition und Subtraktion richtet sich die Rundung nach der geringsten Anzahl an Dezimalstellen. Bei Multiplikation und Division richtet sie sich nach der geringsten Anzahl an signifikanten Stellen. Ergebnisse werden erst am Ende gerundet.