Signifikante Stellen

Wird der Durchmesser eines Flaschendeckels als $3{,}12 \text{cm}$ abgelesen, kann ein Rechner für die Fläche viele weitere Ziffern ausgeben. Das Messgerät rechtfertigt diese scheinbare Genauigkeit jedoch nicht. Deshalb verwenden wir signifikante Stellen.

Signifikante Stellen sind die Ziffern, die beibehalten werden, um die Auflösung eines Messwerts auszudrücken. Die letzte angegebene Ziffer wird von Geräteauflösung und Rundung beeinflusst und ist daher nicht exakt.

Diese Regel soll Zahlen nicht bloß verkürzen. Sie verhindert, dass ein Ergebnis genauer wirkt als das verwendete Messwerkzeug.

Eine Null kann zählen oder nur den Stellenwert markieren

Bei Nullen entscheidet ihre Position darüber, ob sie signifikant sind.

In der wissenschaftlichen Schreibweise gibt eine Potenz wie $10^{-5}$ nur die Größenordnung an. Sie fügt keine signifikante Stelle hinzu.

Soll eine Null ausdrücklich signifikant sein, muss die Schreibweise das eindeutig zeigen. Dafür eignet sich die wissenschaftliche Schreibweise besonders gut.

Einmal anhand der ersten wegfallenden Ziffer runden

Steht die zulässige Stellenzahl fest, entscheidet die erste wegfallende Ziffer über das Runden.

Soll eine berechnete Fläche von $52{,}976686625 \text{cm}^2$ mit $4$ signifikanten Stellen angegeben werden, ist die nächste Ziffer $6$.

Beim Wert $52{,}973376625 \text{cm}^2$ ist die nächste Ziffer dagegen $3$.

Bei einem exakten Halbwert verhindert die Rundung zur geraden Zahl, dass eine lange Wertfolge systematisch nach oben verzerrt wird.

Runde direkt vom ungerundeten Wert auf die endgültige Genauigkeit. Runde nicht über mehrere Zwischenwerte.

Addition folgt der Dezimalstelle

Bei Addition und Subtraktion richtet sich das Ergebnis nach den Nachkommastellen. Der gröbste Messwert bestimmt die letzte zulässige Stelle.

Ein Eisenstab mit $8{,}235 \text{cm}$ Länge wird mit einem zweiten Stab von $4{,}5 \text{cm}$ verbunden.

Der Wert $12{,}735 \text{cm}$ wird auf $1$ Nachkommastelle gerundet, weil $4{,}5 \text{cm}$ ebenfalls nur $1$ Nachkommastelle besitzt.

Multiplikation folgt den am wenigsten präzisen Daten

Bei Multiplikation und Division verwendet die schulische Kurzregel die kleinste Anzahl signifikanter Stellen in den Messdaten. Sie ist eine Berichtsregel und ersetzt keine Unsicherheitsfortpflanzung, wenn Messunsicherheiten vorliegen.

Ein Rechteck sei $12{,}455 \text{cm}$ breit und $35{,}2 \text{cm}$ lang.

Der Wert $12{,}455 \text{cm}$ hat $5$ signifikante Stellen, $35{,}2 \text{cm}$ dagegen nur $3$. Deshalb wird die Fläche mit $3$ signifikanten Stellen angegeben.

Bei einem Flaschendeckel mit dem Durchmesser $3{,}12 \text{cm}$ begrenzen exakte Formelfaktoren wie $\pi$ und $\frac{1}{4}$ die Stellenzahl nicht, weil sie keine Messdaten sind. Verwende den Rechnerwert von $\pi$ und behalte bis zur letzten Zeile zusätzliche Stellen.

Ist eine SI-Angabe verlangt, wird $\text{cm}^2$ in $\text{m}^2$ umgerechnet.

Die schulischen Rechenregeln führt OpenStax University Physics ein. NIST dokumentiert die Rundung zur geraden Zahl, das einmalige Runden und ungerundete Umrechnungsfaktoren im Handbook 130.