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Zeigen zwei Vektoren in dieselbe Richtung, werden ihre Beträge einfach addiert. Zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, ergibt sich die Differenz ihrer Beträge. Viele Kräfte und Verschiebungen schließen jedoch einen anderen Winkel ein. Dann lässt sich der Betrag der Resultierenden mit dem bestimmen.
Der Kosinussatz eignet sich, wenn die Beträge der beiden Vektoren und sowie ihr Zwischenwinkel bekannt sind.
Der Winkel ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, wenn ihre Fußpunkte zusammenliegen.
Der Kosinussatz kommt ins Spiel, weil die beiden Vektoren und ihre Resultierende ein Dreieck mit zwei bekannten Seiten bilden. Bei einem kleinen Zwischenwinkel verstärken sich die Vektoren stark. Nähert sich der Winkel , heben sich ihre Wirkungen zunehmend auf.
Der Wert von bildet diesen Übergang ab:
| Zwischenwinkel | Wert von | Physikalische Bedeutung |
|---|---|---|
| Die Vektoren zeigen in dieselbe Richtung und verstärken sich vollständig. | ||
| Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander. | ||
| Die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen. |
Für geht der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras über, weil gilt.
An einem Punkt wirken zwei Kräfte. Die erste hat den Betrag , die zweite den Betrag . Der Winkel zwischen ihnen beträgt . Gesucht ist der Betrag der Resultierenden.
Einsetzen in den Kosinussatz ergibt:
Die Resultierende ist kleiner als , weil die beiden Kräfte nicht genau gleichgerichtet sind. Sie ist aber größer als jede einzelne Kraft, da beide noch in hinreichend ähnliche Richtungen zeigen.
Grenzfälle zeigen, ob ein Ergebnis plausibel ist. Für muss die Formel liefern.
Für muss sie die Differenz der Beträge liefern.
Diese Prüfung verbindet den Kosinussatz mit den einfacheren Fällen gleichgerichteter, entgegengesetzter und senkrechter Vektoren.
Der Kosinussatz ist geeignet, wenn:
Bei mehr als zwei Vektoren oder bei Winkeln, die gegenüber Koordinatenachsen angegeben sind, ist die Komponentenmethode meist übersichtlicher. Der Kosinussatz passt am besten zu zwei Vektoren mit genau einem bekannten Zwischenwinkel.
