Den Betrag der Resultierenden mit dem Kosinussatz bestimmen

Wenn zwei Vektoren einen Winkel bilden

Bei zwei gleichgerichteten Vektoren addierst du die Beträge. Bei entgegengesetzten Richtungen nimmst du den Betrag ihrer Differenz. Viele Kräfte und Verschiebungen $schließen jedoch einen anderen Winkel ein$ . Dann lässt sich der Betrag der Resultierenden mit dem $Kosinussatz$ bestimmen.

Der Kosinussatz eignet sich, wenn die Beträge der beiden Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ sowie ihr Zwischenwinkel $\theta$ bekannt sind.

R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos\theta}

Der Winkel $\theta$ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, wenn ihre Fußpunkte zusammenliegen.

Der Kosinus in der Dreiecksformel

Der Kosinussatz kommt ins Spiel, weil die beiden Vektoren und ihre Resultierende ein Dreieck mit zwei bekannten Seiten bilden. Bei einem kleinen Zwischenwinkel verstärken sich die Vektoren stark. Nähert sich der Winkel $180^\circ$ , heben sich ihre Wirkungen zunehmend auf.

Legst du die Vektoren $Spitze an Fußpunkt$ , ist der Innenwinkel des Dreiecks der Ergänzungswinkel des Zwischenwinkels. Deshalb wird aus dem Minuszeichen im Kosinussatz des Dreiecks ein Pluszeichen in der Formel für die Resultierende.

\begin{aligned}R^2 &= A^2+B^2-2AB\cos(180^\circ-\theta) \\ &= A^2+B^2-2AB(-\cos\theta) \\ &= A^2+B^2+2AB\cos\theta\end{aligned}

Die folgende Tabelle zeigt, wie sich $\cos\theta$ mit dem Winkel $\theta$ ändert:

Zwischenwinkel	Wert von $\cos\theta$	Physikalische Bedeutung
$0^\circ$	$1$	Die Vektoren zeigen in dieselbe Richtung und verstärken sich vollständig.
$90^\circ$	$0$	Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
$180^\circ$	$-1$	Die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen.

Für $\theta=90^\circ$ geht der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras über, weil $\cos90^\circ=0$ gilt.

Resultierende zweier Kräfte

An einem Punkt wirken zwei Kräfte. Die erste hat den Betrag $10\text{ N}$ , die zweite den Betrag $8\text{ N}$ . Der Winkel zwischen ihnen beträgt $60^\circ$ . Gesucht ist der Betrag der Resultierenden.

Resultierendendreieck zweier Kräfte

Der violette Pfeil ist die Resultierende. Der orange Pfeil beginnt an der Spitze des türkisfarbenen Pfeils. Der Innenwinkel ergänzt deshalb den Zwischenwinkel der Kräfte.

Setze $beide Kraftbeträge und den Zwischenwinkel$ ein. Die Kraftwerte werden in Newton eingesetzt:

\begin{aligned} R&=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos\theta} \\ &=\sqrt{10^2+8^2+2(10)(8)\cos60^\circ} \\ &=\sqrt{100+64+160(0{,}5)} \\ &=\sqrt{244} \\ &\approx15{,}6\text{ N} \end{aligned}

Die Resultierende ist kleiner als $18\text{ N}$ , weil die beiden Kräfte nicht genau gleichgerichtet sind. Sie ist aber größer als jede einzelne Kraft, da beide noch in hinreichend ähnliche Richtungen zeigen.

Überprüfung mit Grenzfällen

$Grenzfälle$ zeigen, ob ein Ergebnis plausibel ist. Für $0^\circ$ muss die Formel $A+B$ liefern.

\begin{aligned} R &=\sqrt{A^2+B^2+2AB} \\ &=\sqrt{(A+B)^2} \\ &=A+B \end{aligned}

Für $180^\circ$ muss sie die Differenz der Beträge liefern.

\begin{aligned} R &=\sqrt{A^2+B^2-2AB} \\ &=\sqrt{(A-B)^2} \\ &=\lvert A-B\rvert \end{aligned}

Diese Prüfung verbindet den Kosinussatz mit den einfacheren Fällen gleichgerichteter, entgegengesetzter und senkrechter Vektoren.

Der passende Einsatz des Kosinussatzes

Der Kosinussatz ist geeignet, wenn:

genau zwei Vektoren vorliegen.
die Beträge beider Vektoren bekannt sind.
der $Zwischenwinkel$ bekannt ist.
der Betrag der Resultierenden gesucht ist.

Bei mehr als zwei Vektoren werden alle Vektoren in Koordinatenkomponenten zerlegt und die $x$ - sowie $y$ -Komponenten jeweils addiert. Der Kosinussatz lässt sich direkt anwenden, wenn genau zwei Vektorbeträge und ihr Zwischenwinkel bekannt sind.