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Der Kosinussatz eignet sich, wenn die Beträge der beiden Vektoren und sowie ihr Zwischenwinkel bekannt sind.
Der Winkel ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, wenn ihre Fußpunkte zusammenliegen.
Der Kosinussatz kommt ins Spiel, weil die beiden Vektoren und ihre Resultierende ein Dreieck mit zwei bekannten Seiten bilden. Bei einem kleinen Zwischenwinkel verstärken sich die Vektoren stark. Nähert sich der Winkel , heben sich ihre Wirkungen zunehmend auf.
Legst du die Vektoren Spitze an Fußpunkt, ist der Innenwinkel des Dreiecks der Ergänzungswinkel des Zwischenwinkels. Deshalb wird aus dem Minuszeichen im Kosinussatz des Dreiecks ein Pluszeichen in der Formel für die Resultierende.
Die folgende Tabelle zeigt, wie sich mit dem Winkel ändert:
| Zwischenwinkel | Wert von | Physikalische Bedeutung |
|---|---|---|
| Die Vektoren zeigen in dieselbe Richtung und verstärken sich vollständig. | ||
| Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander. | ||
| Die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen. |
Für geht der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras über, weil gilt.
An einem Punkt wirken zwei Kräfte. Die erste hat den Betrag , die zweite den Betrag . Der Winkel zwischen ihnen beträgt . Gesucht ist der Betrag der Resultierenden.
Setze beide Kraftbeträge und den Zwischenwinkel ein. Die Kraftwerte werden in Newton eingesetzt:
Die Resultierende ist kleiner als , weil die beiden Kräfte nicht genau gleichgerichtet sind. Sie ist aber größer als jede einzelne Kraft, da beide noch in hinreichend ähnliche Richtungen zeigen.
Grenzfälle zeigen, ob ein Ergebnis plausibel ist. Für muss die Formel liefern.
Für muss sie die Differenz der Beträge liefern.
Diese Prüfung verbindet den Kosinussatz mit den einfacheren Fällen gleichgerichteter, entgegengesetzter und senkrechter Vektoren.
Der Kosinussatz ist geeignet, wenn:
Bei mehr als zwei Vektoren werden alle Vektoren in Koordinatenkomponenten zerlegt und die - sowie -Komponenten jeweils addiert. Der Kosinussatz lässt sich direkt anwenden, wenn genau zwei Vektorbeträge und ihr Zwischenwinkel bekannt sind.
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