Die Richtung der Resultierenden mit dem Sinussatz bestimmen

Der Kosinussatz liefert den Betrag der Resultierenden, aber noch nicht ihre vollständige Richtung. Bei einer Vektoraufgabe ist eine Antwort wie $15{,}6\text{ N}$ unvollständig, solange die Richtung der Kraft fehlt.

Bei zwei Vektoren lässt sich die Richtung der Resultierenden mit dem Sinussatz bestimmen. Er wird auf das Dreieck angewendet, das die beiden Vektoren und ihre Resultierende bilden.

Dabei ist $\theta$ der Zwischenwinkel von $\vec{A}$ und $\vec{B}$, $R$ der Betrag der Resultierenden und $\phi$ der Winkel zwischen $\vec{A}$ und der Resultierenden $\vec{R}$.

Der Sinussatz wird gewöhnlich erst angewendet, wenn der Betrag der Resultierenden bekannt ist.

Den gesuchten Winkel richtig ablesen

Vor der Rechnung muss die Bezugsrichtung feststehen. Ist die Richtung der Resultierenden relativ zu $\vec{A}$ gesucht, wird der Winkel von $\vec{A}$ zu $\vec{R}$ gemessen.

Wird dagegen die Richtung relativ zu $\vec{B}$ verlangt, ist ein anderer Winkel gemeint. Die Winkel dürfen deshalb nicht vertauscht werden, ohne zuvor das Vektordreieck zu prüfen.

Häufig wird folgende Beziehung verwendet:

Diese Formel liefert den Winkel der Resultierenden relativ zu $\vec{A}$. Der Seite gegenüber dem Winkel $\phi$ entspricht der Vektorbetrag $B$. Deshalb steht $B$ im Zähler.

Beispiel: Richtung der resultierenden Kraft

An einem Punkt wirken zwei Kräfte mit $A=10\text{ N}$ und $B=8\text{ N}$. Ihr Zwischenwinkel beträgt $60^\circ$. Aus dem Kosinussatz ist bereits der Betrag $R\approx15{,}6\text{ N}$ bekannt.

Gesucht ist nun der Winkel $\phi$ zwischen $\vec{A}$ und $\vec{R}$.

Damit folgt:

Die resultierende Kraft hat also einen Betrag von etwa $15{,}6\text{ N}$ und liegt um $26{,}4^\circ$ von $\vec{A}$ in Richtung $\vec{B}$ gedreht.

Überprüfung mit Komponenten

Dasselbe Ergebnis lässt sich mit Komponenten prüfen. Liegt $\vec{A}$ auf der positiven $x$-Achse, gilt:

Für dasselbe Beispiel ergibt sich:

Auch hier folgt $\phi\approx26{,}4^\circ$, also dasselbe Ergebnis wie mit dem Sinussatz. Diese Kontrolle hilft besonders, wenn unklar ist, auf welchen Vektor sich der gesuchte Winkel bezieht.

Da $\sin\phi=\sin(180^\circ-\phi)$ gilt, kann die Umkehrfunktion des Sinus einen spitzen Winkel liefern, obwohl das Dreieck den stumpfen Ergänzungswinkel erfordert. Die Vektorgeometrie oder die Komponentenform $\phi=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$ bestimmt den richtigen Quadranten.

Wann der Sinussatz weniger praktisch ist

Bei mehr als zwei Vektoren oder bei Richtungsangaben gegenüber den Koordinatenachsen ist der Sinussatz weniger praktisch. Dann ist die Komponentenmethode meist sicherer, weil sie alle Richtungen entlang der $x$- und $y$-Achse ordnet.

Der Sinussatz eignet sich für eine klar abgegrenzte Situation: zwei Vektoren, ein bekannter Zwischenwinkel, ein bereits bekannter Betrag der Resultierenden und eine gesuchte Richtung relativ zu einem der beiden Vektoren. Vor der Richtungsangabe muss die Mehrdeutigkeit der Sinusumkehrung aufgelöst werden.