Die Richtung der Resultierenden mit dem Sinussatz bestimmen

Die Richtung der Resultierenden erfordert einen weiteren Winkel

Der Kosinussatz liefert den Betrag der Resultierenden, aber noch nicht ihre vollständige Richtung. Bei einer Vektoraufgabe ist eine Antwort wie $15{,}6\text{ N}$ unvollständig, solange die Richtung der Kraft fehlt.

Bei zwei Vektoren lässt sich die Richtung der Resultierenden mit dem $Sinussatz$ bestimmen. Er wird auf das Dreieck angewendet, das die beiden Vektoren und ihre Resultierende bilden.

\frac{\sin\phi}{B}=\frac{\sin\theta}{R}

Dabei ist $\theta$ der Zwischenwinkel von $\vec{A}$ und $\vec{B}$ , $R$ der Betrag der Resultierenden und $\phi$ der Winkel zwischen $\vec{A}$ und der Resultierenden $\vec{R}$ .

Dieses Dreieck setzt $zwei von null verschiedene, nicht kollineare Vektoren$ voraus, mit $0^\circ<\theta<180^\circ$ . Ein Nullvektor als Resultierende hat keine bestimmbare Richtung.

Der Sinussatz wird gewöhnlich erst angewendet, wenn der Betrag der Resultierenden bekannt ist.

Den gesuchten Winkel richtig ablesen

Vor der Rechnung muss die $Bezugsrichtung$ feststehen. Ist die Richtung der Resultierenden relativ zu $\vec{A}$ gesucht, wird der Winkel von $\vec{A}$ zu $\vec{R}$ gemessen.

Wird dagegen die Richtung relativ zu $\vec{B}$ verlangt, ist ein anderer Winkel gemeint. Die Winkel dürfen deshalb nicht vertauscht werden, ohne zuvor das Vektordreieck zu prüfen.

Häufig wird folgende Beziehung verwendet:

\sin\phi=\frac{B\sin\theta}{R}

Der Wert $\phi_0$ ist zunächst ein $spitzer oder rechter Winkel als Kandidat$ . Prüfe die Komponenten der Resultierenden, um zwischen $\phi=\phi_0$ und $\phi=180^\circ-\phi_0$ zu entscheiden.

Diese Formel liefert den Winkel der Resultierenden relativ zu $\vec{A}$ . Der Seite gegenüber dem Winkel $\phi$ entspricht der Vektorbetrag $B$ . Deshalb steht $B$ im Zähler.

Richtung der resultierenden Kraft

An einem Punkt wirken zwei Kräfte mit $A=10\text{ N}$ und $B=8\text{ N}$ . Ihr Zwischenwinkel beträgt $60^\circ$ . Aus dem Kosinussatz ist bereits der Betrag $R\approx15{,}6\text{ N}$ bekannt.

Verwende den $ungerundeten Betrag der Resultierenden$ für den Winkel $\phi$ zwischen $\vec{A}$ und $\vec{R}$ .

\begin{aligned} \sin\phi&=\frac{B\sin\theta}{R} \\ &=\frac{8\sin60^\circ}{\sqrt{244}} \\ &=\frac{4\sqrt3}{\sqrt{244}} \\ &\approx0{,}4435 \end{aligned}

Damit folgt:

\phi=\sin^{-1}(0{,}4435)\approx26{,}3^\circ

Die resultierende Kraft hat also einen Betrag von etwa $15{,}6\text{ N}$ und liegt um $26{,}3^\circ$ von $\vec{A}$ in Richtung $\vec{B}$ gedreht.

Überprüfung mit Komponenten

Dasselbe Ergebnis lässt sich mit den $Komponenten der Resultierenden$ prüfen. Liegt $\vec{A}$ auf der positiven $x$ -Achse, gilt:

R_x=A+B\cos\theta

Für dasselbe Beispiel ergibt sich:

\begin{aligned} \tan\phi &=\frac{8\sin60^\circ}{10+8\cos60^\circ} \\ &=\frac{4\sqrt3}{14} \\ &\approx0{,}495 \end{aligned}

Auch hier folgt $\phi\approx26{,}3^\circ$ , also dasselbe Ergebnis wie mit dem Sinussatz. Diese Kontrolle hilft besonders, wenn unklar ist, auf welchen Vektor sich der gesuchte Winkel bezieht.

Da $\sin\phi=\sin(180^\circ-\phi)$ gilt, kann die Umkehrfunktion des Sinus einen spitzen Winkel liefern, obwohl das Dreieck den stumpfen Ergänzungswinkel erfordert. Die Vektorgeometrie oder die Komponentenform $\phi=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$ bestimmt den richtigen Quadranten.

Einen stumpfen Winkel auswählen

Seien $A=1\text{ N}$ , $B=\sqrt3\text{ N}$ und $\theta=150^\circ$ . Lege die erste Kraft auf die positive horizontale Achse. Berechne vor der Winkelwahl die Komponenten:

\begin{aligned}R_x &= A+B\cos150^\circ \\ &= 1+\sqrt3\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) \\ &= -\frac12\text{ N}\end{aligned}

Die horizontale Komponente ist $negativ$ , die vertikale $positiv$ . Die Resultierende liegt im zweiten Quadranten.

Eine Resultierende im zweiten Quadranten

Die violette Resultierende zeigt nach links oben. Vergleiche diese Richtung mit dem spitzen Winkel aus der Sinusumkehrung.

\begin{aligned}R &= \sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}\text{ N} \\ &= \sqrt{\frac14+\frac34}\text{ N} \\ &= 1\text{ N}\end{aligned}

Die Sinusumkehrung liefert $60^\circ$ . Die Resultierende zeigt jedoch in die Richtung $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ . Die Vorzeichen der Komponenten unterscheiden die beiden möglichen Winkel.

Komponentenverfahren für mehr als zwei Vektoren

Bei mehr als zwei Vektoren zerlegt die Komponentenmethode jeden Vektor entlang derselben $x$ - und $y$ -Achse und addiert anschließend die Komponenten. So müssen nicht mehrere Dreiecke konstruiert und die jeweils passenden Winkel für den Sinussatz ausgewählt werden. Dasselbe Verfahren passt direkt zu Richtungen, die bereits gegenüber den Koordinatenachsen angegeben sind.

Der Sinussatz eignet sich für eine klar abgegrenzte Situation: zwei Vektoren, ein bekannter Zwischenwinkel, ein bereits bekannter Betrag der Resultierenden und eine gesuchte Richtung relativ zu einem der beiden Vektoren. Vor der Richtungsangabe muss $die Mehrdeutigkeit der Sinusumkehrung$ aufgelöst werden.