Vektoreigenschaften

Gleiche Vektoren sind nicht an einen Ort gebunden

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie denselben Betrag und dieselbe Richtung besitzen. Im Diagramm dürfen ihre Pfeile an verschiedenen Stellen liegen. Diese Gleichheit vergleicht die Vektoren selbst. Bei einer Kraft kann der Angriffspunkt trotzdem die Drehwirkung verändern, obwohl der Kraftvektor gleich bleibt.

In der Darstellung liegen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ auf verschiedenen Geraden. Als Vektoren sind sie gleich, weil Betrag und Richtung übereinstimmen. Das Verschieben eines Pfeils lässt beide Eigenschaften unverändert.

Die freie Verschiebung eines abstrakten Vektors in einer Zeichnung bedeutet nicht, dass jeder physikalische Angriffspunkt austauschbar ist. Eine Kraft kann an einem anderen Punkt ein anderes Drehmoment erzeugen.

Ein Gegenvektor kehrt die Richtung um

Der Gegenvektor zu $\vec{a}$ wird als $-\vec{a}$ geschrieben. Er hat denselben Betrag wie $\vec{a}$, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.

Eine Kraft von $12\text{ N}$ nach rechts und eine Kraft von $12\text{ N}$ nach links bilden zum Beispiel ein Paar entgegengesetzter Vektoren. Wirken beide entlang derselben Geraden auf denselben Körper, ist ihre Resultierende der Nullvektor.

Die Skalarmultiplikation ändert Betrag und Richtung

Ein Skalar ist eine gewöhnliche Zahl ohne Richtung. Wird ein Vektor mit dem Skalar $k$ multipliziert, ändert sich sein Betrag um den Faktor $\lvert k\rvert$.

Ein negativer Skalar macht den Betrag nicht negativ. Sein Minuszeichen kehrt die Richtung des Vektors um.

Jede Komponente multiplizieren

Für den Vektor im Modell nehmen wir $\vec{a}=(4,2,0)$. Multipliziere jede Komponente mit demselben Skalar. Ein negativer Skalar kehrt die Vorzeichen der Komponenten um. Der Betrag des Ergebnisses bleibt nicht negativ.

Der ursprüngliche Betrag ist $\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$. Der neue Betrag $6\sqrt{5}$ ist genau dreimal so groß, passend zum Faktor $\lvert-3\rvert=3$.

Der Nullvektor als Ergebnis einer Aufhebung

Der Nullvektor wird als $\vec{0}$ geschrieben. Sein Betrag ist $0$, und seine Richtung ist nicht definiert, weil Fußpunkt und Spitze zusammenfallen.

Ein Nullvektor entsteht häufig, wenn sich Vektoren gegenseitig aufheben. Ziehen zum Beispiel zwei Schüler mit gleich großen Kräften in entgegengesetzte Richtungen an einer Kiste, ergibt sich bei exakt gleicher Wirkungslinie keine resultierende Kraft nach rechts oder links.

Im Gleichgewicht kann ein Körper in Ruhe bleiben, obwohl mehrere Kräfte auf ihn wirken, weil ihre Resultierende null ist.