Soal 17

Pembahasan

Kita misalkan keempat bilangan asli yang telah diurutkan sebagai $x_1, x_2, x_3, x_4$ dengan $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4$.

Berdasarkan informasi soal, kita dapat menyusun persamaan-persamaan berikut:

1. Median: Karena data berjumlah genap (4), median adalah rata-rata dari dua data tengah.

   $$\frac{x_2 + x_3}{2} = 8 \implies x_2 + x_3 = 16$$

2. Jangkauan (Range): Selisih datum terbesar dan terkecil adalah 10.

   $$x_4 - x_1 = 10 \implies x_1 = x_4 - 10$$

3. Mean (Rata-rata): Jumlah seluruh data dibagi 4 adalah 8.

   $$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = 8 \implies x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 32$$

Kita substitusikan nilai $x_2 + x_3 = 16$ ke dalam persamaan rata-rata untuk mencari hubungan antara $x_1$ dan $x_4$:

Sekarang kita memiliki sistem persamaan dua variabel untuk $x_1$ dan $x_4$:

Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut, kita dapatkan:

Substitusi nilai $x_4$ untuk mendapatkan $x_1$:

Terakhir, kita tentukan nilai $x_2$ dan $x_3$. Kita tahu $x_2 + x_3 = 16$ dan $3 \le x_2 \le x_3 \le 13$. Karena modusnya tunggal, maka harus ada satu nilai yang muncul lebih dari sekali. Satu-satunya kemungkinan yang memenuhi syarat median dan urutan adalah jika $x_2$ dan $x_3$ bernilai sama.

Data lengkapnya adalah: $3, 8, 8, 13$. Modus dari data ini adalah $8$ (tunggal), yang sesuai dengan syarat soal.

Maka, hasil kali datum kedua dan datum keempat adalah: