Set 7

Pembahasan

Menentukan Interval Pertemuan

Diketahui ketiga angkot bertemu untuk ke-$4$ kalinya setelah $18$ jam dari pertemuan awal.

Bertemu untuk ke-$4$ kali berarti telah melewati $3$ kali interval pertemuan (KPK).

Misalkan $T$ adalah interval waktu pertemuan bersama (KPK dari periode A, B, dan C).

Jadi, ketiga angkot bertemu bersama setiap $6$ jam sekali.

Menentukan Nilai x

Interval pertemuan bersama ($T$) adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari periode masing-masing angkot.

Diketahui periode:

• Angkot A: $2$ jam
• Angkot B: $3$ jam
• Angkot C: $x$ jam

Maka:

Kita tahu bahwa $\text{KPK}(2, 3) = 6$. Oleh karena itu, kita harus mencari nilai $x$ sehingga $\text{KPK}(6, x) = 6$. Agar $\text{KPK}(6, x) = 6$, maka $x$ haruslah faktor dari $6$.

Dari pilihan jawaban yang tersedia, kita mencari nilai $x$ yang merupakan faktor dari $6$.

Nilai $5$, $7$, $8$, dan $9$ bukan merupakan faktor dari $6$ sehingga tidak memenuhi syarat $\text{KPK}(6, x) = 6$.

Sedangkan untuk $x = 6$, kita dapatkan $\text{KPK}(6, 6) = 6$ yang memenuhi syarat.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $6$.

Pembahasan

Menghitung Bunga Pinjaman

Diketahui:

• Pinjaman pokok ($M$) = $\text{Rp}3.000.000,00$
• Bunga per bulan ($i$) = $2\%$
• Lama pinjaman ($n$) = $10$ bulan

Besaran bunga total yang didapat adalah:

Menghitung Angsuran Per Bulan

Total pinjaman yang harus dibayar adalah pinjaman pokok ditambah bunga total:

Karena masa pelunasan adalah $10$ bulan, maka angsuran per bulan adalah:

Jadi, uang yang harus disetor Panjul per bulannya adalah $\text{Rp}360.000,00$.

Pembahasan

Berikut adalah perhitungan penjualan tiap barang (Ingat bahwa $1$ lusin = $12$ buah/eksemplar).

Buku Tulis

Modal pembelian $6$ lusin buku tulis adalah $\text{Rp}144.000,00$.

Penjualan:

• $3$ lusin ($36$ buah) seharga $\text{Rp}2.500,00$ per buah
• $2$ lusin ($24$ buah) seharga $\text{Rp}2.300,00$ per buah
• Sisa $1$ lusin ($12$ buah) seharga $\text{Rp}2.100,00$ per buah

Total pendapatan dari buku tulis:

Keuntungan buku tulis:

Bolpoin

Modal pembelian $5$ lusin bolpoin adalah $\text{Rp}90.000,00$.

Penjualan:

• $1$ lusin ($12$ buah) seharga $\text{Rp}2.000,00$ per buah
• $3$ lusin ($36$ buah) seharga $\text{Rp}1.700,00$ per buah
• Sisa $1$ lusin ($12$ buah) seharga $\text{Rp}1.600,00$ per buah

Total pendapatan dari bolpoin:

Keuntungan bolpoin:

Pensil

Modal pembelian $6$ lusin pensil adalah $\text{Rp}72.000,00$.

Penjualan:

• $4$ lusin ($48$ buah) seharga $\text{Rp}1.500,00$ per buah
• Sisa $2$ lusin ($24$ buah) seharga $\text{Rp}1.300,00$ per buah

Total pendapatan dari pensil:

Keuntungan pensil:

Kesimpulan

Perbandingan keuntungan:

• Buku tulis: $\text{Rp}26.400,00$
• Bolpoin: $\text{Rp}14.400,00$
• Pensil: $\text{Rp}31.200,00$

Jadi, barang yang paling memberikan banyak keuntungan adalah pensil.

Pembahasan

Visualisasi Masalah

Berikut adalah ilustrasi posisi lampu sorot (di sudut atas) dan titik potong sinarnya.

Analisis Geometri

Lampu sorot dipasang di empat sudut atas ruangan (titik $E$, $F$, $G$, $H$ pada gambar). Sinar lampu bertemu di satu titik. Karena ruangan berbentuk kubus dan posisi lampu simetris, titik potong ini pasti berada tepat di tengah-tengah ruang kubus (perpotongan diagonal ruang).

Jarak dari titik pusat kubus ke lantai (bidang $ABCD$) adalah setengah dari tinggi kubus (panjang rusuk).

Diketahui panjang rusuk $s = 5$ meter.

Maka jarak titik potong ke lantai adalah:

Jadi, jarak antara titik perpotongan tersebut ke lantai ruangan adalah $2\frac{1}{2}$ meter.

Pembahasan

Analisis Volume

Volume air yang tersisa merupakan selisih dari volume tabung (air mula-mula) dengan total volume bola yang dimasukkan.

Substitusikan $r_1 = 16 \text{ cm}$ dan $t = 20 \text{ cm}$ untuk tabung, serta $r_2 = 6 \text{ cm}$ untuk bola.

Sederhanakan persamaan dengan membagi kedua ruas dengan 32:

Karena $n$ adalah banyaknya bola, maka $n$ harus bilangan bulat. Selain itu, total volume bola tidak boleh melebihi kapasitas yang memungkinkan sisa air $64\pi$ (jika $n=18$, maka sisa air akan negatif, yang tidak mungkin).

Maka, banyaknya bola yang dimasukkan adalah $17$ bola.

Pembahasan

Analisis Barisan Aritmatika

Pola penurunan suhu pada tabel membentuk barisan aritmatika. Setiap kenaikan ketinggian $100 \text{ m}$, suhu turun sebesar $2^\circ\text{C}$.

Diketahui:

• Suku pertama ($U_1$) pada ketinggian $100 \text{ m}$ adalah $32$.
• Beda ($b$) adalah $-2$.

Ketinggian $800 \text{ m}$ bersesuaian dengan suku ke-8 ($U_8$), dan ketinggian $1200 \text{ m}$ bersesuaian dengan suku ke-12 ($U_{12}$).

Rumus suku ke-$n$ barisan aritmatika adalah:

Maka perbandingan suhu udara di kedua ketinggian tersebut adalah:

Jadi, perbandingan suhunya adalah $9:5$.

Pembahasan

Identifikasi Pola Barisan Aritmatika

Berdasarkan informasi pada soal, gaji Pak Brikson membentuk barisan aritmatika dengan:

• Gaji tahun ini (usia $40$ tahun) sebagai suku pertama ($a$): $a = 15.750.000$
• Kenaikan gaji setiap tahun sebagai beda ($b$): $b = 750.000$

Kita diminta mencari gaji saat usia $54$ tahun. Selisih tahun dari usia $40$ ke $54$ adalah:

Karena gaji naik setiap tahun, maka gaji pada usia $54$ tahun adalah gaji awal ditambah $14$ kali kenaikan.

Perhitungan Gaji

Menggunakan rumus suku ke-$n$ (dimana $n$ di sini merepresentasikan tahun ke-15 dari barisan, yaitu setelah 14 kali kenaikan):

Substitusi nilai:

Jadi, gaji Pak Brikson saat usianya $54$ tahun adalah $\text{Rp}26.250.000,00$.

Pembahasan

Pemodelan Matematika

Diketahui:

• Pendapatan ($y$) = UMR + (banyak penumpang $\times$ indeks kepuasan)
• Banyak penumpang = $x$
• Indeks kepuasan ($z$) = $x - 100$
• UMR = $\text{Rp}4.680.000,00$

Maka model matematikanya adalah:

Perhitungan Pendapatan

Jika diketahui jumlah penumpang $x = 200$, maka substitusikan ke dalam persamaan:

Jadi, pendapatan supir tersebut adalah $\text{Rp}4.700.000,00$.

Pembahasan

Persamaan Posisi

Peristiwa benturan terjadi saat fungsi posisi terhadap waktu, baik pada roket ataupun kapal bernilai sama.

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

Karena waktu tidak mungkin bernilai negatif, maka yang digunakan adalah nilai positif. Artinya keduanya berbenturan ketika $t = 40$ detik.

Pembahasan

Identifikasi Informasi

Diketahui:

• Total barang inventaris $n(S) = 80$
• Barang rusak $= 20$

Maka, jumlah barang yang tidak rusak $n(A)$ adalah:

Perhitungan Peluang

Peluang terambilnya barang yang tidak rusak adalah:

Jadi, peluang barang yang terambil dalam kondisi tidak rusak adalah $\frac{3}{4}$.

Pembahasan

Identifikasi Peluang Kotak Pertama

Kotak pertama berisi $4$ bola merah dan $3$ bola biru. Total bola di kotak pertama adalah:

Peluang terambilnya bola merah dari kotak pertama ($M$) adalah:

Identifikasi Peluang Kotak Kedua

Kotak kedua berisi $7$ bola merah dan $3$ bola putih. Total bola di kotak kedua adalah:

Peluang terambilnya bola putih dari kotak kedua ($P$) adalah:

Perhitungan Peluang Gabungan

Karena pengambilan bola dari kedua kotak adalah kejadian saling bebas, maka peluang terambilnya bola merah dari kotak pertama dan bola putih dari kotak kedua adalah:

Jadi, peluangnya adalah $\frac{12}{70}$.

Pembahasan

Menghitung Jarak Sebenarnya

Skala peta adalah $1 : 2.000.000$. Jarak sebenarnya ($J_s$) dapat dihitung dengan rumus:

Jarak Sebenarnya Kota $A$ ke Kota $x$:

Jarak Sebenarnya Kota $x$ ke Kota $B$:

Jarak Sebenarnya Kota $A$ ke Kota $y$:

Jarak Sebenarnya Kota $y$ ke Kota $B$:

Menghitung Jarak Tempuh

Perjalanan Benu ($A \to x \to B$):

Perjalanan Mamang ($A \to y \to B$):

Menghitung Selisih Jarak

Selisih jarak tempuh Benu dan Mamang adalah:

Jadi, selisih jarak tempuhnya adalah $60 \text{ km}$.

Pembahasan

Analisis Lintasan

Lintasan berbentuk lingkaran dengan $4$ checkpoint: $A, B, C, D$. Satu putaran penuh terdiri dari $4$ segmen: $A \to B$, $B \to C$, $C \to D$, dan $D \to A$. Perjalanan dimulai dari $A$.

Menghitung Jarak Tempuh Awal

Pelari melewati checkpoint $C$ sebanyak $3$ kali.

• Kali ke-1: $A \to B \to C$ ($2$ segmen).
• Kali ke-2: Tambah 1 putaran penuh ($4$ segmen). Total: $2 + 4 = 6$ segmen.
• Kali ke-3: Tambah 1 putaran penuh ($4$ segmen). Total: $6 + 4 = 10$ segmen.

Diketahui waktu tempuh untuk $10$ segmen adalah $12$ menit. Waktu per segmen ($t_s$) adalah:

Menghitung Waktu Total

Untuk mencapai checkpoint $C$ ke-4 kalinya, pelari harus menempuh 1 putaran lagi ($4$ segmen). Total segmen yang ditempuh adalah:

Maka waktu total yang dibutuhkan adalah:

Jadi, waktu yang dibutuhkan pelari adalah $16,8 \text{ menit}$.

Pembahasan

Membuat Model Matematika

Misalkan:

• $A$ = besar modal untuk produk $A$
• $B$ = besar modal untuk produk $B$

Diketahui total modal adalah $\text{Rp}10.000.000,00$:

Diketahui keuntungan total adalah $\text{Rp}904.000,00$ dengan keuntungan produk $A$ sebesar $8\%$ dan produk $B$ sebesar $10\%$:

Kalikan kedua ruas dengan $10$ untuk memudahkan perhitungan:

Menyelesaikan Sistem Persamaan

Eliminasi variabel $B$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$:

Hitung nilai $A$:

Jadi, modal untuk produk $A$ adalah $\text{Rp}4.800.000,00$.

Pembahasan

Membuat Model Matematika

Misalkan:

• $x$ = harga daging per kg
• $y$ = harga ikan per kg

Berdasarkan tabel, kita dapat membuat sistem persamaan linear dua variabel.

Untuk Toko A:

Untuk Toko B:

Mencari Harga Ikan

Kita akan mencari nilai $y$ (harga ikan). Eliminasi variabel $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.

Kalikan persamaan $(1)$ dengan $7$ dan persamaan $(2)$ dengan $4$ agar koefisien $x$ sama:

Kurangkan kedua persamaan tersebut:

Maka:

Karena satuan dalam tabel adalah "ribu rupiah", maka harga ikan adalah $20$ ribu rupiah atau $\text{Rp}20.000,00$.

Jadi, harga ikan per kilogram adalah $\text{Rp}20.000,00$.

Pembahasan

Analisis Data Awal

Diketahui:

• Jumlah peserta awal: $n_1 = 22$
• Rata-rata awal: $\bar{x}_1 = 5$
• Jangkauan: $J = 4$

Misalkan nilai peserta diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar sebagai $x_1, x_2, \dots, x_{22}$.

Jumlah seluruh nilai awal adalah:

Jangkauan didefinisikan sebagai selisih nilai terbesar dan terkecil:

Analisis Data Setelah Pengurangan

Jika nilai terendah ($x_1$) dan tertinggi ($x_{22}$) tidak disertakan:

• Jumlah peserta baru: $n_2 = 22 - 2 = 20$
• Rata-rata baru: $\bar{x}_2 = 4,9$

Jumlah nilai siswa yang tersisa adalah: