Set 6

Pembahasan

Diketahui waktu mulai berlari adalah pukul $07:00$ dan waktu akhir pengamatan adalah pukul $09:24$. Kita hitung durasi totalnya dalam menit:

Diketahui mereka bertiga melewati garis start secara bersamaan sebanyak $4$ kali dalam rentang waktu tersebut. Ini berarti mereka bertemu setiap:

Waktu pertemuan bersama ini merupakan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari waktu putaran masing-masing pelari.

Kita harus mencari nilai $x$ sehingga $\text{KPK}(12, x, 9) = 36$. Pertama, kita cari KPK dari $12$ dan $9$:

Karena $\text{KPK}(12, 9)$ sudah bernilai $36$, maka agar $\text{KPK}(12, 9, x)$ tetap bernilai $36$, nilai $x$ haruslah faktor dari $36$ atau bilangan yang jika dikombinasikan dengan $12$ dan $9$ menghasilkan KPK $36$. Mari kita cek pilihan jawaban:

• Jika $x = 5$: $\text{KPK}(36, 5) = 180$ (Salah)
• Jika $x = 6$: $\text{KPK}(36, 6) = 36$ (Benar)
• Jika $x = 7$: $\text{KPK}(36, 7) = 252$ (Salah)
• Jika $x = 10$: $\text{KPK}(36, 10) = 180$ (Salah)
• Jika $x = 13$: $\text{KPK}(36, 13) = 468$ (Salah)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $6$.

Pembahasan

Diketahui bahwa pelari $A$ menempuh waktu $12$ menit untuk menyelesaikan $1$ putaran penuh. Pertama, kita konversi waktu tersebut menjadi detik:

Diketahui kecepatan rata-rata pelari $A$ adalah $2$ meter per detik. Kita tahu bahwa kecepatan ($v$) adalah perbandingan antara perpindahan/jarak ($s$) per satuan waktu ($t$), sebagaimana rumus:

Yang ditanyakan adalah panjang lintasan ($s$):

Konversi ke satuan kilometer:

Jadi, panjang lintasan yang ditempuh adalah $1440$ meter atau $1,44$ Km.

Pembahasan

Diketahui:

• Modal awal ($M_0$) = $\text{Rp}12.500.000,00$
• Modal akhir ($M_t$) = $\text{Rp}15.000.000,00$
• Lama menabung ($t$) = $1$ tahun

Pertama, kita cari nominal bunga yang didapat:

Persentase bunga merupakan perbandingan dari nominal bunga dengan modal awal dikali lama menabung:

Jadi, uang bertambah karena bunga sebesar $20\%$.

Pembahasan

Diketahui:

• Modal awal ($M_0$) = $\text{Rp}15.000.000,00$
• Modal akhir ($M_t$) = $\text{Rp}16.500.000,00$
• Bunga ($i$) = $12\%$ per tahun

Pertama, kita hitung pertambahan nilainya (bunga yang didapat):

Persentase bunga yang didapat adalah $12\%$ per tahun. Maka lamanya Bima menabung ($t$) dapat dihitung dengan:

Konversi ke bulan:

Jadi, lamanya Bima menabung adalah $10$ bulan.

Pembahasan

Diketahui:

• Kerucut A: Radius ($R_1$) sama dengan tinggi ($h_1$), jadi $R_1 = h_1$.
• Kerucut B: Radius ($R_2$) dua kali tinggi ($h_2$), jadi $R_2 = 2h_2$ atau $h_2 = \frac{1}{2}R_2$.
• Laju volular sama, artinya $V_A = V_B$ (Volume kerucut A sama dengan Volume kerucut B).

Ingat rumus volume kerucut $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Sederhanakan dengan mencoret $\frac{1}{3}\pi$ di kedua ruas:

Substitusikan hubungan tinggi dan radius masing-masing kerucut:

• Ganti $h_1$ dengan $R_1$
• Ganti $h_2$ dengan $\frac{1}{2}R_2$

Kita ingin mencari perbandingan $R_1 : R_2$:

Akarkan pangkat tiga kedua ruas:

Jadi, perbandingan $R_1 : R_2 = 1 : \sqrt[3]{2}$.

Pembahasan

Analisis Laju Perubahan Volume

Diketahui bahwa laju penuangan pasir sama untuk kedua kerucut. Ini berarti dalam waktu $t$ yang sama, volume pasir yang dituangkan juga sama.

Rumus volume kerucut adalah:

Substitusi Hubungan Radius dan Tinggi

Untuk kerucut A, diketahui $R_1 = h_1$. Maka volumenya:

Untuk kerucut B, diketahui $R_2 = 2h_2$. Maka volumenya:

Menentukan Perbandingan Tinggi

Karena $V_A = V_B$, maka:

Sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan $\frac{1}{3}\pi$:

Susun menjadi perbandingan:

Akarkan kedua ruas dengan pangkat 3:

Jadi, perbandingan tingginya adalah $h_1 : h_2 = \sqrt[3]{4} : 1$.

Pembahasan

Menentukan Beda Barisan

Januari adalah bulan pertama ($U_1$), sehingga banyaknya mobil yang diproduksi adalah $a = 100$ unit. April adalah bulan ke-4 ($U_4$), dengan produksi $160$ unit.

Kita dapat mencari beda ($b$) dari barisan aritmetika ini menggunakan rumus suku ke-$n$:

Substitusi nilai yang diketahui untuk bulan April ($n=4$):

Jadi, setiap bulan produksi bertambah sebanyak $20$ unit.

Menghitung Total Produksi Setahun

Total produksi hingga akhir tahun berarti jumlah produksi selama $12$ bulan ($S_{12}$). Kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika:

Substitusi $n = 12$, $a = 100$, dan $b = 20$:

Jadi, jumlah total mobil yang dapat diproduksi hingga akhir tahun adalah $2.520$ unit.

Pembahasan

Menentukan Rasio Barisan

Diketahui kayu dipotong menjadi 6 bagian, sehingga $n = 6$. Panjang potongan membentuk barisan geometri.

Kita asumsikan suku pertama adalah yang terpanjang (bisa juga sebaliknya, hasilnya akan sama untuk jumlah total). Misalkan suku pertama $a = 96$ dan suku ke-6 adalah yang terpendek $U_6 = 3$.

Rumus suku ke-$n$ barisan geometri adalah:

Substitusi nilai yang diketahui:

Sederhanakan persamaan untuk mencari rasio ($r$):

Jadi, rasio antar potongan kayu adalah $\frac{1}{2}$.

Menghitung Total Panjang Kayu

Total panjang kayu mula-mula adalah jumlah dari seluruh potongan ($S_6$). Karena $r < 1$, kita gunakan rumus:

Substitusi $a = 96$, $r = \frac{1}{2}$, dan $n = 6$:

Hitung hasilnya:

Jadi, total panjang bilah kayu mula-mula adalah $189$ cm.

Pembahasan

Menyusun Model Matematika

Diketahui rumus dasar tarif telepon ($y$) adalah:

Dari soal, kita memiliki informasi berikut:

1. Durasi telepon = $x$ menit.
2. Biaya langganan ($z$) = $60.000$.
3. Tarif per menit adalah $150$ lebihnya dari durasi telepon. Artinya:

Substitusi ke Rumus

Kita substitusikan komponen-komponen tersebut ke dalam rumus awal:

Jabarkan perkaliannya:

Jadi, fungsi tarif telepon rumah yang dibayarkan pelanggan adalah $y = x^2 + 150x + 60.000$.

Pembahasan

Mengidentifikasi Konsep

Soal ini berkaitan dengan menyusun $3$ orang dari $7$ kandidat untuk menempati posisi yang spesifik (ketua, sekretaris, bendahara). Karena urutan atau posisi jabatan diperhatikan (ketua $\neq$ sekretaris $\neq$ bendahara), maka kita menggunakan konsep Permutasi.

Menghitung Permutasi

Rumus permutasi $r$ objek dari $n$ objek adalah:

Diketahui:

• Jumlah kandidat ($n$) = $7$
• Jumlah posisi yang dipilih ($r$) = $3$

Substitusi ke dalam rumus:

Jabarkan faktorialnya:

Jadi, banyaknya susunan staff pengurus yang mungkin adalah $210$ cara.

Pembahasan

Mengidentifikasi Konsep

Soal ini meminta kita untuk memilih anggota tim berdasarkan keahliannya. Karena urutan pemilihan orang tidak diperhatikan (siapa yang terpilih pertama atau kedua tidak mengubah komposisi tim), maka kita menggunakan konsep Kombinasi.

Rumus kombinasi adalah:

Menghitung Kombinasi Ahli Matematika

Dari $3$ ahli matematika, akan dipilih $2$ orang:

Menghitung Kombinasi Ahli Fisika

Dari $5$ ahli fisika, akan dipilih $3$ orang:

Menghitung Total Cara

Karena pemilihan ahli matematika dan fisika adalah kejadian yang saling bebas dan terjadi bersamaan, kita kalikan kedua hasil tersebut:

Jadi, ada $30$ cara untuk menyusun tim tersebut.

Pembahasan

Mengidentifikasi Proporsi

Diketahui:

• Untuk mengisi dari $20\%$ ke $100\%$ dibutuhkan waktu $2,5$ jam.
• Persentase yang diisi adalah $100\% - 20\% = 80\%$.

Sekarang kondisi baterai adalah $60\%$.

• Target pengisian adalah $100\%$.
• Persentase yang perlu diisi adalah $100\% - 60\% = 40\%$.

Perbandingan Lurus

Karena daya pengisian konstan, waktu yang dibutuhkan berbanding lurus dengan persentase yang diisi.

Substitusi nilai:

Konversi Waktu

Ubah $1,25$ jam ke dalam jam dan menit:

Jadi, waktu yang dibutuhkan adalah 1 jam 15 menit.

Pembahasan

Menghitung Komponen Biaya

Total biaya yang harus dikeluarkan Bedu adalah jumlah dari tarif dasar (untuk kilometer pertama) dengan jumlah tarif per kilometer berikutnya.

Diketahui:

• Jarak tempuh total = $18$ km.
• Tarif dasar (1 km pertama) = $\text{Rp}2.500$.
• Tarif per km berikutnya = $\text{Rp}1.000$.

Sisa jarak yang dikenakan tarif tambahan:

Menghitung Total Tarif

Kita hitung total biayanya:

Jadi, total tarif yang harus dibayarkan oleh Bedu adalah $\text{Rp}19.500,00$.

Pembahasan

Definisi Variabel

Misalkan:

• Gaji golongan $A$ adalah $x$.
• Gaji golongan $B$ adalah $y$.
• Gaji golongan $C$ adalah $z$.

Membentuk Persamaan

Dari soal diketahui:

1. Gaji golongan $A$ adalah sepertiga gaji golongan $B$.

   $$x = \frac{1}{3}y \quad \dots (1)$$

2. Gaji golongan $C$ adalah setengah gaji golongan $B$.

   $$z = \frac{1}{2}y \quad \dots (2)$$

Menyelesaikan Masalah

Ditanyakan: Penghasilan golongan $A$ selama $6$ bulan sama dengan penghasilan golongan $C$ selama $n$ bulan.

Persamaannya adalah:

Substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$ ke dalam persamaan di atas (nyatakan semua dalam $y$):

Karena $y \neq 0$, kita bisa membagi kedua ruas dengan $y$:

Jadi, penghasilan akan sama dengan penghasilan karyawan golongan $C$ selama $4$ bulan.

Pembahasan

Definisi Variabel

Misalkan:

• Banyak mobil jenis $\text{I}$ adalah $x$.
• Banyak mobil jenis $\text{II}$ adalah $y$.
• Banyak mobil jenis $\text{III}$ adalah $z$.

Membentuk Sistem Persamaan

Dari soal diketahui:

1. Total mobil yang disewa adalah $20$.

   $$x + y + z = 20 \quad \dots (1)$$

2. Total kapasitas angkut adalah $96$ kg, dengan kapasitas masing-masing jenis adalah $3$, $4$, dan $6$ kg.

   $$3x + 4y + 6z = 96 \quad \dots (2)$$

3. Diketahui perusahaan menyewa $4$ mobil jenis $\text{I}$.

   $$x = 4$$

Menyelesaikan Sistem Persamaan

Substitusi nilai $x = 4$ ke persamaan $(1)$:

Substitusi nilai $x = 4$ ke persamaan $(2)$:

Sederhanakan persamaan di atas dengan membagi kedua ruas dengan $2$:

Eliminasi variabel $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$. Kalikan persamaan $(3)$ dengan $3$ (atau $2$ jika ingin mengeliminasi $y$, namun di sini kita akan mencari $y$ secara langsung dengan eliminasi $z$):

Kurangkan kedua persamaan tersebut:

Jadi, banyak mobil jenis $\text{II}$ yang disewa adalah $6$.

Pembahasan

Menghitung Total Berat Awal

Diketahui berat rata-rata awal $(\bar{x}_1)$ dari sepuluh pemain $(n_1 = 10)$ adalah $60$ kg. Total berat awal dapat dihitung sebagai berikut:

Menghitung Berat Pemain yang Diganti

Misalkan berat pemain yang diganti adalah $n$ dan berat Iksan adalah $x_i = 62$ kg.

Setelah pergantian pemain, jumlah pemain tetap $10$, tetapi rata-rata berubah menjadi $\bar{x}_2 = 60,5$ kg. Persamaannya adalah:

Substitusi nilai-nilai yang diketahui:

Kalikan kedua ruas dengan $10$: