Set 1

Diketahui operasi $\triangle(a, b) = ka + \frac{b}{m}$ dengan $k$ dan $m$ adalah bilangan bulat positif. Jika $\triangle(2, 4) = 8$ dan $\triangle(3, 5) = 11$ , maka nilai $\triangle(5, 9)$ adalah ....

Diberikan $A$ , $B$ , dan $D$ adalah matriks dengan

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a & 2 \\ b & 1 \end{pmatrix}, \quad D = 3A + B

Jika $AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 17 & 11 \end{pmatrix}$ , matriks $D$ adalah ....

$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 15 & 10 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 14 & 10 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 6 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 11 & 5 \\ 10 & 6 \end{pmatrix}$

Barisan bilangan $\frac{3}{2}, p, 6, q$ merupakan barisan geometri dengan rasio positif.

Pernyataan mana saja yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

$\text{(1)}$ Rasio barisan tersebut adalah $2$ .

$\text{(2)}$ Nilai $pq$ adalah $72$ .

$\text{(3)}$ Selisih suku keenam dan kedua adalah $45$ .

$\text{(4)}$ Setiap suku barisan merupakan bilangan genap.

$(1), (2), \text{ dan } (3)$

$(1) \text{ dan } (3)$

$(2) \text{ dan } (4)$

$(4)$

$(1), (2), (3), \text{ dan } (4)$

Apabila ukuran setiap persegi kecil pada peta adalah $2 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}$ , skala peta adalah $1 : 200.000$ , dan sebuah pesawat membutuhkan waktu $12 \text{ menit}$ untuk terbang dari Kota B ke Kota A dengan jarak pada peta sepanjang $12 \text{ cm}$ , maka kecepatan rata-rata pesawat tersebut adalah ....

$24 \text{ km/jam}$

$48 \text{ km/jam}$

$72 \text{ km/jam}$

$96 \text{ km/jam}$

$120 \text{ km/jam}$

Segi empat sama sisi $PQRS$ memiliki keliling $20$ satuan. Diagonal $PR$ tegak lurus diagonal $QS$ . Gradien $QR$ adalah ....

Belah Ketupat PQRS

Diagram belah ketupat

PQRS

pada bidang koordinat.

Segi empat sama sisi $PQRS$ memiliki keliling $20$ satuan. Diagonal $PR$ tegak lurus diagonal $QS$ . Persamaan garis yang melalui $Q$ dan tegak lurus terhadap $PS$ adalah ....

Belah Ketupat PQRS

Diagram belah ketupat

PQRS

pada bidang koordinat.

Diketahui perbandingan trigonometri dari dua sudut lancip $A$ dan $B$ dengan $\sin A = \frac{5}{13}$ dan $\cos B = \frac{8}{17}$ .

Berapakah banyaknya dari empat pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

\text{(1)} \quad \tan A + \tan B = \frac{19}{20}

\text{(2)} \quad \cos A \sin B + \cos B \sin A = \frac{220}{221}

\text{(3)} \quad \frac{\tan A}{\tan B} = \frac{25}{32}

\text{(4)} \quad \frac{\sin A \cos B}{\sin B \cos A} = \frac{2}{9}

Pembahasan

Diketahui $\sin A = \frac{5}{13}$ dan $\cos B = \frac{8}{17}$ dengan $A$ dan $B$ adalah sudut lancip.

Dari $\sin A = \frac{5}{13}$ , sisi depannya adalah $5$ dan sisi miringnya $13$ . Maka sisi sampingnya adalah

\text{Sisi samping} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

Jadi untuk sudut $A$

\sin A = \frac{5}{13}, \quad \cos A = \frac{12}{13}, \quad \tan A = \frac{5}{12}

Sudut A

Visualisasi sudut

A

dengan

\sin A = \frac{5}{13}

\cos A = \frac{12}{13}

, dan

\tan A = \frac{5}{12}

Sin (22.62°) = 5/13Cos (22.62°) = 12/13Tan (22.62°) = 5/12

22.62°0.39 Radian

Dari $\cos B = \frac{8}{17}$ , sisi sampingnya adalah $8$ dan sisi miringnya $17$ . Maka sisi depannya adalah

\text{Sisi depan} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15

Jadi untuk sudut $B$

\sin B = \frac{15}{17}, \quad \cos B = \frac{8}{17}, \quad \tan B = \frac{15}{8}

Sudut B

Visualisasi sudut

B

dengan

\sin B = \frac{15}{17}

\cos B = \frac{8}{17}

, dan

\tan B = \frac{15}{8}

Sin (61.93°) = 15/17Cos (61.93°) = 8/17Tan (61.93°) = 15/8

61.93°1.08 Radian

Pernyataan $\text{(1)}$ : $\tan A + \tan B = \frac{19}{20}$

\tan A + \tan B = \frac{5}{12} + \frac{15}{8}

= \frac{10}{24} + \frac{45}{24}

= \frac{55}{24}

Jadi $\tan A + \tan B = \frac{55}{24}$ , bukan $\frac{19}{20}$ . Pernyataan $\text{(1)}$ salah.

Pernyataan $\text{(2)}$ : $\cos A \sin B + \cos B \sin A = \frac{220}{221}$

\cos A \sin B + \cos B \sin A = \frac{12}{13} \cdot \frac{15}{17} + \frac{8}{17} \cdot \frac{5}{13}

= \frac{180}{221} + \frac{40}{221}

= \frac{220}{221}

Pernyataan $\text{(2)}$ benar.

Pernyataan $\text{(3)}$ : $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{25}{32}$

\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{15}{8}}

= \frac{5}{12} \cdot \frac{8}{15}

= \frac{40}{180}

= \frac{2}{9}

Jadi $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{2}{9}$ , bukan $\frac{25}{32}$ . Pernyataan $\text{(3)}$ salah.

Pernyataan $\text{(4)}$ : $\frac{\sin A \cos B}{\sin B \cos A} = \frac{2}{9}$

\frac{\sin A \cos B}{\sin B \cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\cos B}{\sin B}

= \tan A \cdot \frac{1}{\tan B}

= \frac{\tan A}{\tan B}

= \frac{2}{9}

Pernyataan $\text{(4)}$ benar.

Jadi pernyataan yang benar adalah $\text{(2)}$ dan $\text{(4)}$ . Banyaknya pernyataan yang benar adalah $2$ .

Diketahui $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli yang memenuhi $a = 2 \times b$ dan $b$ habis dibagi $5$ .

Berapakah banyaknya dari empat pernyataan berikut yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

$(1)$ $a$ merupakan bilangan genap

$(2)$ Angka satuan dari $a$ selalu $0$

$(3)$ $a + b$ habis dibagi $5$

$(4)$ $3a + 2b$ merupakan bilangan ganjil

Grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu- $y$ di titik $(0, 8)$ dan titik puncak $(2, -4)$ .

Berdasarkan informasi di atas, pernyataan yang benar adalah

$\text{(I)}$ Persamaan lengkap fungsi kuadrat $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$ .

$\text{(II)}$ Titik $(3, -1)$ melalui fungsi $f$ .

$\text{(III)}$ Nilai $f(-1)$ adalah $22$ .

$\text{I, II, dan III}$

$\text{I dan II}$

$\text{II dan III}$

$\text{I}$

$\text{III}$

Pembahasan

Diketahui grafik fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu- $y$ di titik $(0, 8)$ dan titik puncak $(2, -4)$ .

Dari titik $(0, 8)$ , substitusi $x = 0$ dan $f(0) = 8$ ke persamaan fungsi

f(0) = a(0)^2 + b(0) + c

8 = c

Jadi $c = 8$ .

Dari titik puncak $(2, -4)$ , koordinat $x$ puncak adalah $x_p = -\frac{b}{2a} = 2$ , sehingga

-\frac{b}{2a} = 2

-b = 4a

b = -4a

Koordinat $y$ puncak adalah $f(2) = -4$ , sehingga

f(2) = a(2)^2 + b(2) + c

-4 = 4a + 2b + 8

-12 = 4a + 2b

Substitusi $b = -4a$ ke persamaan $-12 = 4a + 2b$

-12 = 4a + 2(-4a)

-12 = 4a - 8a

-12 = -4a

a = 3

Dari $b = -4a$ , diperoleh $b = -4(3) = -12$ .

Jadi persamaan fungsi kuadrat adalah $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$ .

Pernyataan $\text{(I)}$ : Persamaan lengkap fungsi kuadrat $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$

Berdasarkan perhitungan di atas, persamaan fungsi kuadrat adalah $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$ . Jadi pernyataan $\text{(I)}$ benar.

Pernyataan $\text{(II)}$ : Titik $(3, -1)$ melalui fungsi $f$

Substitusi $x = 3$ ke fungsi $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$

f(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 8

= 3(9) - 36 + 8

= 27 - 36 + 8

= -1

Jadi $f(3) = -1$ , yang berarti titik $(3, -1)$ melalui fungsi $f$ . Jadi pernyataan $\text{(II)}$ benar.

Pernyataan $\text{(III)}$ : Nilai $f(-1)$ adalah $22$

Substitusi $x = -1$ ke fungsi $f(x) = 3x^2 - 12x + 8$

f(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) + 8

= 3(1) + 12 + 8

= 3 + 12 + 8

= 23

Jadi $f(-1) = 23$ , bukan $22$ . Jadi pernyataan $\text{(III)}$ salah.

Jadi pernyataan yang benar adalah $\text{(I)}$ dan $\text{(II)}$ .

Fungsi $f$ dinyatakan sebagai $f(x) = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x + 21}}$ .

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ yang benar?

$P$	$Q$
$7$	$x$ agar $f(x)$ terdefinisi sebagai bilangan real

Kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$

Kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$

Kuantitas $P$ sama dengan $Q$

Informasi tidak cukup untuk menentukan hubungan

Tidak dapat ditentukan

Tabel berikut menyajikan nilai matematika tiga kelompok siswa.

Kelompok 1	Kelompok 2	Kelompok 3
$8$	$6$	$3$
$2$	$9$	$b$
$5$	$7$	$10$
$8$		$8$
$7$

Jumlah dari modus nilai Kelompok 1 dan median nilai Kelompok 2 sama dengan $2$ kali rata-rata nilai Kelompok 3.

Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ yang benar?

$P$	$Q$
$b$	$8$

Kuantitas $P$ lebih besar daripada $Q$

Kuantitas $P$ lebih kecil daripada $Q$

Kuantitas $P$ sama dengan $Q$

Informasi tidak cukup untuk menentukan hubungan

Tidak dapat ditentukan

Diberikan limas beraturan $T.ABCD$ dengan $AB = 4 \text{ cm}$ dan titik $O$ merupakan titik potong garis $AC$ dengan $BD$ . Berapa volume dari limas $T.ABCD$ ?

Limas Beraturan T.ABCD

Visualisasi limas beraturan

T.ABCD

dengan alas persegi

ABCD

dan pusat alas di titik

O

Putuskan apakah pernyataan $(1)$ dan $(2)$ berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut.

(1) \quad AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}

(2) \quad AT = \sqrt{17} \text{ cm}

Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA tidak cukup

Pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup

DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup

Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan

Pernyataan $(1)$ dan pernyataan $(2)$ tidak cukup untuk menjawab pertanyaan

Pembahasan

Diketahui limas beraturan $T.ABCD$ dengan $AB = 4 \text{ cm}$ dan titik $O$ merupakan titik potong garis $AC$ dengan $BD$ .

Volume limas dapat dihitung dengan rumus:

V = \frac{1}{3} \times L_{\text{alas}} \times t = \frac{1}{3} \times s^2 \times t

dengan $s$ adalah panjang sisi alas dan $t$ adalah tinggi limas.

Karena $AB = 4 \text{ cm}$ , maka luas alas $L_{\text{alas}} = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$ .

Untuk menghitung volume, kita perlu mengetahui tinggi limas $t = TO$ .

Analisis Pernyataan $(1)$ : $AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}$

Diagonal persegi dengan sisi $s$ adalah $s\sqrt{2}$ .

Jika $AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}$ , maka:

s\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

s = 4

Ini konsisten dengan informasi yang diberikan ( $AB = 4 \text{ cm}$ ).

Titik $O$ adalah titik tengah diagonal, sehingga:

AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ cm}

Namun, pernyataan $(1)$ tidak memberikan informasi tentang tinggi limas $TO$ . Tanpa informasi tinggi, volume tidak dapat ditentukan.

Jadi, pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan $(2)$ : $AT = \sqrt{17} \text{ cm}$

Karena $AB = 4 \text{ cm}$ , diagonal alas $AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}$ .

Titik $O$ adalah titik tengah diagonal, sehingga:

AO = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ cm}

Perhatikan segitiga siku-siku $AOT$ dengan sudut siku-siku di $O$ (karena $TO$ tegak lurus alas).

Dengan menggunakan teorema Pythagoras:

AT^2 = AO^2 + TO^2

(\sqrt{17})^2 = (2\sqrt{2})^2 + TO^2

17 = 8 + TO^2

TO^2 = 9

TO = 3 \text{ cm}

Dengan tinggi $TO = 3 \text{ cm}$ dan luas alas $L_{\text{alas}} = 16 \text{ cm}^2$ , volume limas dapat dihitung:

V = \frac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16 \text{ cm}^3

Jadi, pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.

Limas Beraturan T.ABCD dengan Label Panjang Sisi

Visualisasi limas beraturan

T.ABCD

dengan label panjang sisi-sisinya.

Kesimpulan:

Pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.

Fungsi $f$ dan $g$ didefinisikan dengan $f(x) = \frac{x-a}{x+a}$ untuk $x \neq -a$ dan $g(x) = bx^2 - x + 2$ . Apakah $\frac{g(-2)}{f(-2)} > 0$ ?

Putuskan apakah pernyataan $(1)$ dan $(2)$ berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut.

(1) \quad a < 5 \text{ dan } b < 5

(2) \quad a > 2 \text{ dan } b > 0

Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA tidak cukup

Pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup

DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup

Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan

Pernyataan $(1)$ dan pernyataan $(2)$ tidak cukup untuk menjawab pertanyaan

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x) = \frac{x-a}{x+a}$ untuk $x \neq -a$ dan $g(x) = bx^2 - x + 2$ .

Pertanyaan yang harus dijawab adalah apakah $\frac{g(-2)}{f(-2)} > 0$ .

Menghitung Nilai Fungsi

Pertama, kita hitung nilai dari $g(-2)$ dan $f(-2)$ .

Untuk $g(-2)$ , substitusi $x = -2$ ke dalam fungsi $g(x)$ :

g(-2) = b(-2)^2 - (-2) + 2

g(-2) = 4b + 2 + 2

g(-2) = 4b + 4

Untuk $f(-2)$ , substitusi $x = -2$ ke dalam fungsi $f(x)$ :

f(-2) = \frac{-2-a}{-2+a}

f(-2) = \frac{-(2+a)}{-(2-a)}

f(-2) = \frac{2+a}{2-a}

Sehingga perbandingan yang kita cari adalah:

\frac{g(-2)}{f(-2)} = \frac{4b + 4}{\frac{2+a}{2-a}} = \frac{(4b + 4)(2-a)}{2+a}

Kita dapat menyederhanakan dengan memfaktorkan pembilang:

\frac{g(-2)}{f(-2)} = \frac{4(b + 1)(2-a)}{2+a}

Agar $\frac{g(-2)}{f(-2)} > 0$ , maka $\frac{4(b + 1)(2-a)}{2+a} > 0$ .

Karena $4$ selalu positif, maka kita perlu menganalisis tanda dari $\frac{(b + 1)(2-a)}{2+a}$ .

Analisis Pernyataan

Analisis Pernyataan $(1)$ : $a < 5$ dan $b < 5$

Dari pernyataan ini, kita hanya tahu bahwa $a$ dan $b$ keduanya kurang dari $5$ . Namun, tidak ada informasi pasti mengenai tanda dari faktor-faktor yang terlibat.

Mari kita periksa beberapa kemungkinan:

Jika $b = 0$ , maka $b + 1 = 1 > 0$
Jika $b = -2$ , maka $b + 1 = -1 < 0$
Untuk $2-a$ , jika $a = 1$ , maka $2-a = 1 > 0$
Untuk $2-a$ , jika $a = 3$ , maka $2-a = -1 < 0$
Untuk $2+a$ , jika $a = 0$ , maka $2+a = 2 > 0$
Untuk $2+a$ , jika $a = -3$ , maka $2+a = -1 < 0$

Karena tanda dari faktor-faktor tersebut dapat bervariasi dengan banyak kemungkinan kombinasi, kita tidak bisa memastikan apakah $\frac{g(-2)}{f(-2)} > 0$ .

Jadi, pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan $(2)$ : $a > 2$ dan $b > 0$

Dari pernyataan ini, mari kita analisis tanda dari setiap faktor:

Karena $b > 0$ , maka $b + 1 > 1 > 0$ (positif)
Karena $a > 2$ , maka $2 - a < 0$ (negatif)
Karena $a > 2$ , maka $2 + a > 4 > 0$ (positif)

Sehingga kita punya:

\frac{(b + 1)(2-a)}{2+a} = \frac{(+)(-)}{(+)} = \frac{(-)}{(+)} = (-)

Karena hasilnya negatif, maka $\frac{g(-2)}{f(-2)} < 0$ , sehingga jawabannya adalah tidak, $\frac{g(-2)}{f(-2)}$ tidak lebih besar dari $0$ .

Dengan demikian, pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dengan pasti (jawabannya adalah tidak).

Jika $N$ memenuhi $7 - N \times (-3) = 52$ , nilai $N$ adalah ....

Segitiga $ABC$ sebangun dengan segitiga $ADE$ .

Segitiga ABC dan ADE

Visualisasi dua segitiga yang sebangun dengan titik sudut yang ditandai.

Luas segitiga $ADE$ adalah ....

Hasil dari

\frac{x + 2y}{3} + \frac{2x - y}{4} - \frac{3x + 2y}{6}

adalah ....

$\frac{x + y}{12}$

$\frac{2x + y}{12}$

$\frac{3x + y}{12}$

$\frac{4x + y}{12}$

$\frac{5x + y}{12}$

Diberikan fungsi $f(x) = (x+3)(x^2+6x+8)^4$ dan $F(x) = \int f(x) \, dx$ . Jika $F(-3) = 2$ , maka fungsi $F(x)$ adalah ....

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{1}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{11}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{21}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{31}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{41}{10}$

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x) = (x+3)(x^2+6x+8)^4$ dan $F(x) = \int f(x) \, dx$ dengan kondisi $F(-3) = 2$ .

Substitusi U

Untuk menyelesaikan integral ini, kita gunakan metode substitusi.

Misalkan $u = x^2 + 6x + 8$ .

Turunan $u$ terhadap $x$ :

\frac{du}{dx} = 2x + 6

Faktorkan:

\frac{du}{dx} = 2(x + 3)

Kalikan kedua ruas dengan $dx$ :

du = 2(x + 3) \, dx

Bagi kedua ruas dengan $2$ :

\frac{du}{2} = (x + 3) \, dx

Menyelesaikan Integral

Substitusi ke dalam integral:

F(x) = \int f(x) \, dx = \int (x+3)(x^2+6x+8)^4 \, dx

Dengan substitusi $u = x^2 + 6x + 8$ dan $(x+3) \, dx = \frac{du}{2}$ :

F(x) = \int u^4 \cdot \frac{du}{2}

= \frac{1}{2} \int u^4 \, du

= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C

= \frac{1}{10} u^5 + C

Substitusi kembali $u = x^2 + 6x + 8$ :

F(x) = \frac{1}{10}(x^2 + 6x + 8)^5 + C

Menentukan Konstanta C

Gunakan kondisi $F(-3) = 2$ :

F(-3) = \frac{1}{10}((-3)^2 + 6(-3) + 8)^5 + C = 2

Hitung nilai di dalam kurung:

(-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1

Substitusi:

\frac{1}{10}(-1)^5 + C = 2

\frac{1}{10}(-1) + C = 2

-\frac{1}{10} + C = 2

C = 2 + \frac{1}{10}

C = \frac{20}{10} + \frac{1}{10}

C = \frac{21}{10}

Fungsi F(x)

Substitusi nilai $C$ ke dalam $F(x)$ :

F(x) = \frac{1}{10}(x^2 + 6x + 8)^5 + \frac{21}{10}

Jadi, fungsi $F(x)$ adalah $\frac{1}{10}(x^2 + 6x + 8)^5 + \frac{21}{10}$ .

Barisan bilangan $5, 8, 11, \ldots$ merupakan barisan aritmetika dengan $a$ merupakan suku pertama, $b$ merupakan beda, $U_n$ merupakan suku ke- $n$ , dan $S_n$ merupakan jumlah $n$ suku pertama.

Pernyataan mana saja yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

(1) \quad \text{Nilai } a \text{ lebih besar daripada nilai } b

(2) \quad U_{11} = a \times 7

(3) \quad S_6 = b \times 25

(4) \quad U_{18} = S_5

$(1), (2), \text{ dan } (3)$ SAJA yang benar

$(1) \text{ dan } (3)$ SAJA yang benar

$(2) \text{ dan } (4)$ SAJA yang benar

SEMUA pernyataan benar

SEMUA pernyataan salah

Pembahasan

Diketahui barisan aritmetika $5, 8, 11, \ldots$ .

Dari barisan tersebut:

Suku pertama $a = 5$
Beda $b = 8 - 5 = 3$

Rumus suku ke- $n$ barisan aritmetika:

U_n = a + (n-1)b

Rumus jumlah $n$ suku pertama:

S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)

Evaluasi Pernyataan (1)

Pernyataan: Nilai $a$ lebih besar daripada nilai $b$ .

a = 5 \text{ dan } b = 3

5 > 3

Jadi, pernyataan $(1)$ bernilai benar.

Evaluasi Pernyataan (2)

Pernyataan: $U_{11} = a \times 7$ .

Hitung $U_{11}$ :

U_{11} = a + (11-1)b

= 5 + 10 \times 3

= 5 + 30

= 35

Hitung $a \times 7$ :

a \times 7 = 5 \times 7 = 35

Karena $U_{11} = 35$ dan $a \times 7 = 35$ , maka $U_{11} = a \times 7$ .

Jadi, pernyataan $(2)$ bernilai benar.

Evaluasi Pernyataan (3)

Pernyataan: $S_6 = b \times 25$ .

Hitung $S_6$ :

S_6 = \frac{6}{2}(2a + (6-1)b)

= 3(2 \times 5 + 5 \times 3)

= 3(10 + 15)

= 3 \times 25

= 75

Hitung $b \times 25$ :

b \times 25 = 3 \times 25 = 75

Karena $S_6 = 75$ dan $b \times 25 = 75$ , maka $S_6 = b \times 25$ .

Jadi, pernyataan $(3)$ bernilai benar.

Evaluasi Pernyataan (4)

Pernyataan: $U_{18} = S_5$ .

Hitung $U_{18}$ :

U_{18} = a + (18-1)b

= 5 + 17 \times 3

= 5 + 51

= 56

Hitung $S_5$ :

S_5 = \frac{5}{2}(2a + (5-1)b)

= \frac{5}{2}(2 \times 5 + 4 \times 3)

= \frac{5}{2}(10 + 12)

= \frac{5}{2} \times 22

= 55

Karena $U_{18} = 56$ dan $S_5 = 55$ , maka $U_{18} \neq S_5$ .

Jadi, pernyataan $(4)$ bernilai salah.

Diketahui garis $g_1$ melalui titik $A(-1, 1)$ dan $B(2, 3)$ . Diketahui pula persamaan garis $g_2$ : $mx + ny - 7 = 0$ , dengan $m$ dan $n$ bilangan real.

Pernyataan mana saja yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

$(1)$ Garis $g_1$ dan $g_2$ sejajar jika $m = 4$ dan $n = 6$ .

$(2)$ Titik $B$ melalui garis $g_2$ apabila $m = 2$ dan $n = -1$ .

$(3)$ Jika $g_1$ dan $g_2$ sejajar, maka $\frac{m}{n} = -\frac{3}{2}$ .

$(4)$ Jika $m = 3$ dan $n = 2$ , maka $g_1$ dan $g_2$ saling tegak lurus.

$(1), (2), \text{ dan } (3)$ SAJA yang benar

$(1) \text{ dan } (3)$ SAJA yang benar

$(2) \text{ dan } (4)$ SAJA yang benar

$(4)$ SAJA yang benar

SEMUA pernyataan benar

Pembahasan

Diketahui garis $g_1$ melalui titik $A(-1, 1)$ dan $B(2, 3)$ , serta persamaan garis $g_2$ : $mx + ny - 7 = 0$ .

Menghitung Gradien Garis g₁

Gradien garis yang melalui dua titik dapat dihitung dengan:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Untuk garis $g_1$ yang melalui $A(-1, 1)$ dan $B(2, 3)$ :

m_1 = \frac{3 - 1}{2 - (-1)}

= \frac{2}{3}

Jadi, gradien garis $g_1$ adalah $m_1 = \frac{2}{3}$ .

Menentukan Gradien Garis g₂

Persamaan garis $g_2$ : $mx + ny - 7 = 0$ .

Ubah ke bentuk $y = mx + c$ :

mx + ny - 7 = 0

ny = -mx + 7

y = -\frac{m}{n}x + \frac{7}{n}

Jadi, gradien garis $g_2$ adalah $m_2 = -\frac{m}{n}$ .

Evaluasi Pernyataan (1)

Pernyataan: Garis $g_1$ dan $g_2$ sejajar jika $m = 4$ dan $n = 6$ .

Dua garis sejajar jika gradiennya sama.

Jika $m = 4$ dan $n = 6$ , maka:

m_2 = -\frac{m}{n} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}

Karena $m_1 = \frac{2}{3}$ dan $m_2 = -\frac{2}{3}$ , maka $m_1 \neq m_2$ .

Jadi, pernyataan $(1)$ bernilai salah.

Evaluasi Pernyataan (2)

Pernyataan: Titik $B$ melalui garis $g_2$ apabila $m = 2$ dan $n = -1$ .

Titik $B(2, 3)$ melalui garis $g_2$ jika memenuhi persamaan $mx + ny - 7 = 0$ .

Substitusi $m = 2$ , $n = -1$ , dan $B(2, 3)$ :

mx + ny - 7 = 2(2) + (-1)(3) - 7

= 4 - 3 - 7

= -6

\neq 0

Karena hasilnya tidak sama dengan $0$ , titik $B$ tidak melalui garis $g_2$ .

Jadi, pernyataan $(2)$ bernilai salah.

Evaluasi Pernyataan (3)

Pernyataan: Jika $g_1$ dan $g_2$ sejajar, maka $\frac{m}{n} = -\frac{3}{2}$ .

Jika kedua garis sejajar, maka $m_1 = m_2$ :

\frac{2}{3} = -\frac{m}{n}

\frac{m}{n} = -\frac{2}{3}

Jadi, jika $g_1$ dan $g_2$ sejajar, maka $\frac{m}{n} = -\frac{2}{3}$ , bukan $-\frac{3}{2}$ .

Jadi, pernyataan $(3)$ bernilai salah.

Evaluasi Pernyataan (4)

Pernyataan: Jika $m = 3$ dan $n = 2$ , maka $g_1$ dan $g_2$ saling tegak lurus.

Dua garis saling tegak lurus jika hasil kali gradiennya sama dengan $-1$ , yaitu $m_1 \times m_2 = -1$ .

Jika $m = 3$ dan $n = 2$ , maka:

m_2 = -\frac{m}{n} = -\frac{3}{2}

Periksa apakah $m_1 \times m_2 = -1$ :

m_1 \times m_2 = \frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{2}\right)

= -\frac{6}{6}

= -1

Karena $m_1 \times m_2 = -1$ , maka $g_1$ dan $g_2$ saling tegak lurus.

Jadi, pernyataan $(4)$ bernilai benar.

Diberikan dua buah bilangan real dengan ketentuan sebagai berikut:

Dua kali bilangan pertama dikurangi tiga kali bilangan kedua menghasilkan $14$ .

Apabila bilangan pertama dikali $k$ ditambah dua kali bilangan kedua, maka menghasilkan $4$ dengan $k$ suatu bilangan real.

Jika penjumlahan bilangan pertama dan kedua menghasilkan $-3$ , nilai $k$ adalah ....

Command Palette

Nomor 1

Pembahasan

Nomor 2

Pembahasan

Nomor 3

Pembahasan

Nomor 4

Pembahasan

Nomor 5

Pembahasan

Nomor 6

Pembahasan

Nomor 7

Pembahasan

Nomor 8

Pembahasan

Nomor 9

Pembahasan

Nomor 10

Pembahasan

Nomor 11

Pembahasan

Nomor 12

Pembahasan

Nomor 13

Pembahasan

Nomor 14

Pembahasan

Nomor 15

Pembahasan

Nomor 16

Pembahasan

Nomor 17

Pembahasan

Nomor 18

Pembahasan

Nomor 19

Pembahasan

Nomor 20

Pembahasan