Set 10

Pembahasan

Definisikan huruf sesuai urutan alfabet:

• $A = 1$
• $B = 2$
• $C = 3$
• ...
• $Z = 26$

Maka, kita dapat mengubah huruf-huruf pada segitiga menjadi angka:

Perhatikan bahwa segitiga pertama memiliki pola:

Angka $20$ sesuai dengan huruf $T$ (huruf ke-$20$).

Dengan menggunakan pola yang sama, angka dalam segitiga pada segitiga kedua adalah:

Substitusi kembali angka pada urutan huruf. Huruf ke-$25$ adalah $Y$.

Jadi, jawabannya adalah $Y$.

Pembahasan

Dari gambar tersebut, kita dapat melihat bahwa sudut yang bertolak belakang dengan $z^\circ$ adalah sudut di antara dua garis diagonal di bagian atas. Besar sudut tersebut sama dengan $z^\circ$.

Karena sudut-sudut pada garis lurus (sudut pelurus) berjumlah $180^\circ$, maka jumlah sudut $x^\circ$, sudut vertikal $z^\circ$, dan $y^\circ$ adalah $180^\circ$:

Diketahui bahwa $x^\circ = y^\circ$, sehingga kita dapat mensubstitusi $y$ dengan $x$:

Jadi, besar sudut $z$ adalah $180 - 2x$.

Pembahasan

Misal $P(A)$ adalah peluang setiap orang mendapat hadiah, maka:

Jadi, peluang peserta mendapat hadiah adalah $0.0067$.

Pembahasan

Mari kita definisikan anggota dari masing-masing himpunan:

Kita akan memeriksa setiap pilihan jawaban untuk melihat apakah bilangan tersebut dapat dibentuk dari perkalian dua anggota himpunan-himpunan tersebut.

Analisis Pilihan

1. Pilihan A: $-14$

   $$-14 = (-7) \times 2$$

   Di sini, $-7 \in A$ dan $2 \in B$. Jadi, $-14$ mungkin dibentuk dari kombinasi anggota himpunan $A$ dan $B$.

2. Pilihan B: $-15$

   $$-15 = (-5) \times 3$$

   Di sini, $-5 \in A$ dan $3 \in C$. Jadi, $-15$ mungkin dibentuk dari kombinasi anggota himpunan $A$ dan $C$.

3. Pilihan C: $-18$

   $$-18 = (-3) \times 6$$

   Di sini, $-3 \in A$ dan $6 \in B$ (juga $6 \in C$). Jadi, $-18$ mungkin dibentuk dari kombinasi anggota himpunan $A$ dan $B$ (atau $C$).

4. Pilihan D: $14$

   $$14 = 2 \times 7$$

   Di sini, $2 \in B$. Namun, $7$ adalah bilangan ganjil positif yang tidak habis dibagi $3$. Artinya:

   • $7 \notin A$ (karena $A$ berisi bilangan negatif).
   • $7 \notin B$ (karena $7$ ganjil).
   • $7 \notin C$ (karena $7$ tidak habis dibagi $3$).

   Karena salah satu faktornya ($7$) tidak ada di dalam himpunan $A$, $B$, atau $C$, maka $14$ tidak dapat dibentuk (dengan asumsi perkalian melibatkan anggota dari himpunan yang berbeda seperti pola jawaban lainnya, atau kita mencari faktor positif dari himpunan positif).

5. Pilihan E: $18$

   $$18 = 2 \times 9$$

   Di sini, $2 \in B$ dan $9 \in C$. Jadi, $18$ mungkin dibentuk dari kombinasi anggota himpunan $B$ dan $C$.

Jadi, bilangan yang tidak termasuk dalam hasil perkalian yang dimaksud adalah $14$.

Pembahasan

Diketahui sistem pertidaksamaan:

Kita dapat menjumlahkan kedua pertidaksamaan utama untuk mendapatkan batas nilai $x + y$:

Diketahui bahwa nilai maksimum dari $x + y$ adalah $5$. Maka, kita substitusikan nilai maksimum tersebut ke dalam pertidaksamaan:

Maka, nilai $a$ adalah:

(Kita ambil nilai positif karena opsi jawaban positif, meskipun secara matematis bisa $\pm 5$).

Jadi, nilai $a$ adalah $5$.

Pembahasan

Diketahui:

• Harga awal buku matematika = $85.000$
• Harga buku matematika setelah diskon = $28.900$
• Harga awal buku biologi = $40.000$

Kita perlu mencari persentase harga yang harus dibayar (harga setelah diskon) dari harga awal. Misalkan persentase harga yang dibayar adalah $p\%$ (di mana $p = 100 - x$ jika $x$ adalah persentase potongan harga, namun soal menyiratkan hubungan langsung dengan persentase harga akhir).

Berdasarkan harga buku matematika:

Sederhanakan pecahan tersebut:

Atau dalam bentuk persentase:

Artinya, harga buku pada hari itu adalah $34\%$ dari harga awal.

Sekarang kita hitung harga buku biologi dengan persentase yang sama:

Jadi, harga buku biologi pada hari itu adalah $13.600$ rupiah.

Pembahasan

Diketahui fungsi kuadrat:

Sumbu simetri fungsi kuadrat $ax^2 + bx + c$ diberikan oleh rumus $x = -\frac{b}{2a}$. Dalam kasus ini, $a = k$ dan $b = 8$.

Diketahui sumbu simetri $x = 4$, maka:

Setelah mendapatkan nilai $k$, kita substitusikan kembali ke fungsi awal:

Untuk mencari nilai maksimum, kita substitusikan nilai sumbu simetri $x = 4$ ke dalam fungsi (karena nilai optimum selalu berada pada sumbu simetri):

Jadi, nilai maksimum fungsi adalah $14$.

Pembahasan

Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan:

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

Pembuat nol (akar-akar) dari persamaan adalah:

Kita uji titik pada garis bilangan:

• Untuk $x < -3$ (misal $-4$): $(-4-2)(-4+3) = (-6)(-1) = 6$ (Positif)
• Untuk $-3 < x < 2$ (misal $0$): $(0-2)(0+3) = (-2)(3) = -6$ (Negatif)
• Untuk $x > 2$ (misal $3$): $(3-2)(3+3) = (1)(6) = 6$ (Positif)

Karena tanda pertidaksamaan adalah $> 0$ (positif), maka daerah penyelesaiannya adalah:

Berdasarkan pernyataan yang diketahui:

1. $x > 2$ (Sesuai)
2. $-3 < x < 2$ (Tidak sesuai)
3. $x < -3$ (Sesuai)
4. $x > -3$ (Tidak sesuai)

Jadi, pertidaksamaan dipenuhi oleh pernyataan $1$ dan $3$.

Pembahasan

Didefinisikan:

• $A =$ kejadian pembangunan tepat waktu
• $A^c =$ kejadian pembangunan tidak tepat waktu
• $B =$ kejadian terjadi protes
• $B^c =$ kejadian tidak ada protes
• $A|B =$ kejadian pembangunan tepat waktu dan diprotes masyarakat
• $A|B^c =$ kejadian pembangunan tepat waktu dan tidak diprotes masyarakat

Peluang pembangunan tepat waktu adalah jumlah dari peluang protes dikali peluang pembangunan tepat waktu jika diprotes, ditambah peluang tidak diprotes dikali peluang pembangunan tepat waktu jika tidak diprotes.

Kita ketahui bahwa:

Maka:

Jadi, peluang pembangunan selesai tepat waktu adalah $0.52$.

Pembahasan

Kita ketahui bahwa:

Maka:

Nina melakukan perjalanan sejauh $3 \text{ km}$.

Waktu total yang ditempuh Nina adalah jumlah waktu berlari dan berjalan, yaitu:

Konversi ke menit:

Jadi, waktu total yang ditempuh Nina adalah $60$ menit.

Pembahasan

Misalkan umur Putri saat ini adalah $x$, maka umur Tina adalah $2x$.

Pada $6$ tahun ke depan:

Diketahui bahwa $6$ tahun ke depan umur Putri adalah $\frac{2}{3}$ umur Tina, maka:

Jadi, umur Putri saat ini adalah $6$ tahun.

Pembahasan

Diketahui:

Maka dengan perbandingan berbalik nilai:

Jadi, mereka dapat menyelesaikan borongan tersebut dalam waktu $49,5$ hari.

Pembahasan

Untuk mengurutkan bilangan-bilangan tersebut, kita dapat mengubah semua bentuk bilangan menjadi bentuk desimal agar lebih mudah dibandingkan.

Sekarang kita urutkan dari yang terbesar ke yang terkecil:

Maka urutannya adalah:

Pembahasan

Misalkan $a = 1,5454545454...$

Kalikan $a$ dengan $100$ sehingga:

Kurangkan $100a$ dengan $a$ sehingga:

Jadi, bentuk pecahan biasanya adalah $\frac{17}{11}$.

Pembahasan

Barisan bilangan ini terdiri dari dua pola yang berselang-seling.

Pola pertama (posisi ganjil):

Pola kedua (posisi genap):

Suku yang hilang adalah suku ke-$5$ (dari pola pertama) dan suku ke-$6$ (dari pola kedua).

Untuk suku ke-$5$:

Untuk suku ke-$6$:

Jadi, nilai yang tepat untuk melengkapi barisan adalah $16$ dan $-1$.

Pembahasan

Misalkan $x$ adalah jumlah siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran (matematika, fisika, dan biologi).

Kita dapat menggunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk himpunan:

Diketahui:

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

Jadi, jumlah siswa yang menyukai ketiga mata pelajaran tersebut adalah $5$ orang.

Pembahasan

Kita definisikan kejadian-kejadian sebagai berikut:

• $S$ = Ruang sampel (total telur)
• $B$ = Kejadian terambil telur bebek
• $A$ = Kejadian terambil telur ayam
• $P$ = Kejadian terambil telur pecah

Pertama, kita hitung jumlah total telur dalam keranjang:

Selanjutnya, kita hitung jumlah telur yang pecah:

• Telur bebek pecah: $\frac{1}{2} \times 10 = 5$
• Telur ayam pecah: $\frac{1}{4} \times 20 = 5$

Total telur pecah ($n(P)$) adalah:

Kita diminta mencari peluang terambil telur bebek atau telur pecah ($B \cup P$). Rumus peluang gabungan dua kejadian adalah:

Dimana $n(B \cup P)$ dapat dihitung dengan prinsip inklusi-eksklusi:

• $n(B) = 10$ (jumlah telur bebek)
• $n(P) = 10$ (jumlah total telur pecah)
• $n(B \cap P)$ adalah jumlah telur yang merupakan telur bebek dan pecah. Dari perhitungan di atas, telur bebek yang pecah ada $5$ butir.

Maka:

Sehingga peluangnya adalah:

Jadi, peluang terambil telur bebek atau telur pecah adalah $0,5$.

Pembahasan

Pertama, kita daftar anggota dari himpunan $A$. Himpunan $A$ berisi bilangan bulat antara $-3$ dan $8$ (tidak termasuk $-3$ dan $8$):

Selanjutnya, himpunan $B$ berisi semua bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan $7$:

Irisan dari dua himpunan ($A \cap B$) adalah himpunan yang berisi anggota yang ada di kedua himpunan tersebut.

Karena semua anggota himpunan $A$ (mulai dari $-2$ sampai $7$) juga terdapat di dalam himpunan $B$, maka irisan keduanya adalah himpunan $A$ itu sendiri:

Jika kita ubah kembali ke dalam notasi pembentuk himpunan, anggotanya adalah bilangan bulat yang lebih besar dari $-3$ dan kurang dari atau sama dengan $7$:

Pembahasan

Pertama, kita hitung jumlah total nilai ujian pada Semester $I$:

Selanjutnya, kita hitung jumlah total nilai ujian selama satu tahun (Semester $I$ & $II$):

Untuk mendapatkan jumlah nilai ujian pada Semester $II$, kita kurangkan total nilai satu tahun dengan total nilai Semester $I$:

Jumlah ujian pada Semester $II$ adalah selisih dari total ujian dengan ujian Semester $I$:

Sekarang kita dapat menghitung rata-rata nilai pada Semester $II$:

Terakhir, kita hitung kenaikan nilai rata-rata dari Semester $I$ ke Semester $II$:

Jadi, kenaikan nilai rata-rata ujian matematika Hani adalah $0,92$.