Set 9

Pembahasan

Diketahui luas persegi besar adalah $256 \text{ cm}^2$.

Menentukan Sisi Persegi Besar

Luas persegi ($L$) dirumuskan sebagai $L = s^2$.

Menentukan Diameter Lingkaran

Perhatikan bahwa lingkaran berada di dalam persegi besar dan menyinggung sisi-sisinya. Oleh karena itu, diameter lingkaran ($d$) sama dengan panjang sisi persegi besar.

Menghitung Keliling Lingkaran

Keliling lingkaran ($K$) dirumuskan sebagai $K = \pi d$.

Jadi, keliling lingkaran adalah $16\pi \text{ cm}$.

Pembahasan

Misalkan $F$ adalah titik pusat lingkaran, sehingga $AF = FD = FG = r$ (jari-jari lingkaran).

Diketahui panjang sisi persegi $AD = 24 \text{ cm}$. Karena $E$ adalah titik tengah $AD$ (berdasarkan simetri lingkaran yang melalui $A$ dan $D$), maka:

Mencari Jari-jari Lingkaran

Kita akan mencari jari-jari lingkaran ($r$) dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $AEF$. Perhatikan bahwa panjang $EF$ adalah jarak dari pusat lingkaran ke sisi $AD$. Karena lingkaran menyinggung sisi $BC$ di titik $G$, dan jarak total dari sisi $AD$ ke sisi $BC$ adalah panjang sisi persegi ($24 \text{ cm}$), maka $EF = AB - r = 24 - r$.

Berdasarkan teorema Pythagoras pada $\triangle AEF$:

Menghitung Luas Lingkaran

Setelah mengetahui jari-jari lingkaran $r = 15 \text{ cm}$, kita dapat menghitung luasnya:

Jadi, luas lingkaran tersebut adalah $225\pi \text{ cm}^2$.

Pembahasan

Kita buat garis bantu yang sejajar dengan garis $PQ$ dan $RS$ yang melalui titik sudut $\alpha$. Garis ini membagi sudut $\alpha$ menjadi dua bagian, yaitu $\beta$ dan $\gamma$.

Mencari Nilai $\beta$

Perhatikan bahwa sudut $\beta$ dan sudut $25^\circ$ adalah pasangan sudut dalam berseberangan. Karena garis-garis tersebut sejajar, maka besar sudutnya sama:

Mencari Nilai $\gamma$

Sudut $\gamma$ dan sudut $135^\circ$ adalah pasangan sudut dalam sepihak (consecutive interior angles). Jumlah kedua sudut ini adalah $180^\circ$:

Menghitung Nilai $\alpha$

Nilai $\alpha$ adalah jumlah dari $\beta$ dan $\gamma$:

Jadi, nilai $\alpha$ adalah $70^\circ$.

Pembahasan

Misalkan $n_A$ adalah banyak siswa kelas $A$ dan $n_B$ adalah banyak siswa kelas $B$.

Diketahui perbandingan rata-rata nilai kelas $A$ dan $B$ adalah:

Dan perbandingan rata-rata gabungan terhadap rata-rata kelas $A$ adalah:

Perbandingan banyak siswa kelas $A$ dan kelas $B$ dapat diperoleh dengan menggunakan rumus rata-rata gabungan:

Substitusikan nilai $\bar{X}$ dan $\bar{X}_B$ dalam bentuk $\bar{X}_A$:

Bagi kedua ruas dengan $\bar{X}_A$ (karena $\bar{X}_A \neq 0$):

Kalikan silang:

Kelompokkan suku-suku yang sejenis:

Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan perbandingan $n_A : n_B$:

Jadi, perbandingan banyak siswa kelas $A$ dan kelas $B$ adalah $2 : 1$.

Pembahasan

Misalkan $A$ adalah kejadian bola hijau dua kali bola putih.

Diketahui:

Terdapat $9$ bola di dalam sebuah kotak ($1$ merah + $6$ hijau + $2$ putih = $9$). Akan diambil $7$ bola secara acak. Total banyaknya cara pengambilan bola adalah:

Yang akan dicari adalah peluang terambilnya bola hijau dua kali banyak bola putih. Kita bagi dalam dua kasus.

Kasus $1$

Jika terambil $1$ bola putih, maka bola hijau harus $2$ (karena banyak bola hijau = $2$ kali banyak bola putih). Untuk mencapai total $7$ bola yang diambil, maka sisa bola yang harus diambil adalah $7 - 1 - 2 = 4$ bola. Sisa bola ini haruslah bola merah. Namun, bola merah hanya tersedia $1$ buah. Sehingga kasus $1$ tidak mungkin terjadi.

Kasus $2$

Jika terambil $2$ bola putih, maka bola hijau harus $4$. Untuk mencapai total $7$ bola yang diambil, maka sisa bola yang harus diambil adalah $7 - 2 - 4 = 1$ bola. Sisa bola ini adalah bola merah. Kasus ini mungkin terjadi karena tersedia $2$ bola putih, $6$ bola hijau, dan $1$ bola merah.

Banyaknya cara mengambil untuk kasus ini adalah:

Kesimpulan

Sehingga peluang kejadian $A$ adalah:

Jadi, peluang terambilnya bola hijau dua kali banyak bola putih yang terambil adalah $\frac{5}{12}$.

Pembahasan

Diketahui $1 < x < y < 2$. Kita ingin mencari rentang nilai $z = x - y$.

Karena $x < y$, maka selisih $x - y$ pasti bernilai negatif ($z < 0$).

Mari kita analisis batas-batas nilai $z$:

1. Nilai terbesar $z$

   Nilai $z$ akan maksimal (mendekati $0$) saat selisih $x$ dan $y$ sekecil mungkin.

   Karena $x$ dan $y$ berada dalam interval $(1, 2)$ dan $x < y$, selisih mereka bisa sangat kecil mendekati $0$ tetapi tidak pernah mencapai $0$ (karena $x \neq y$).

   Jadi, batas atas nilai $z$ adalah $0$.

2. Nilai terkecil $z$

   Nilai $z$ akan minimal (paling negatif) saat $x$ sekecil mungkin dan $y$ sebesar mungkin.

   • Nilai $x$ mendekati $1$ (batas bawah).
   • Nilai $y$ mendekati $2$ (batas atas).

   Sehingga:

   $$z \approx 1 - 2 = -1$$

   Jadi, batas bawah nilai $z$ adalah $-1$.

Kesimpulan

Nilai $z$ berada di antara $-1$ dan $0$.

Dalam notasi matematika: $-1 < z < 0$.

Jadi, $z$ nilainya berada di antara $-1$ dan $0$.

Pembahasan

Misalkan:

• $a =$ usia adik saat ini
• $k =$ usia kakak saat ini

Analisis Kondisi Pertama

Tujuh tahun yang lalu jumlah usia kakak dan adik adalah $26$ tahun.

Maka model matematikanya:

Analisis Kondisi Kedua

Empat tahun yang akan datang, dua kali usia kakak sama dengan dua kali usia adik ditambah delapan tahun.

Maka model matematikanya:

Mencari Usia Adik

Kita eliminasi persamaan $(1)$ dan $(2)$ untuk mencari nilai $a$.

Kita kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua: $(k+a) - (k-a) = 2a$ dan $40 - 4 = 36$.

Dengan demikian, usia adik saat ini adalah $18$ tahun.

Jadi, usia adik saat ini adalah $18$ tahun.

Pembahasan

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Kita akan menyederhanakan pembilang dengan mengelompokkan suku-suku yang sejenis (bilangan bulat dengan bilangan bulat, bentuk akar dengan bentuk akar).

Selanjutnya, kita faktorkan pembilang dengan mengeluarkan angka $3$:

Perhatikan bahwa $(3 + \sqrt{5})$ sama dengan $(\sqrt{5} + 3)$. Sehingga kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan nilai tersebut:

Jadi, hasil akhirnya adalah $3$.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah asal fungsi, kita perlu memastikan bahwa semua komponen fungsi terdefinisi (bilangan di dalam akar tidak boleh negatif dan penyebut tidak boleh nol).

Fungsi $f(x) = \frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{x^2 + x - 6}}$ memiliki dua syarat utama:

Syarat 1: Pembilang

Bilangan di dalam akar pada pembilang harus non-negatif:

Syarat 2: Penyebut

Bilangan di dalam akar pada penyebut harus positif (karena akar di penyebut tidak boleh nol):

Pembuat nol dari pertidaksamaan ini adalah $x = -3$ dan $x = 2$.

Dengan uji titik, kita mendapatkan daerah penyelesaian untuk penyebut: $x < -3$ atau $x > 2$.

Irisan Daerah Asal

Daerah asal fungsi $f$ adalah irisan dari kedua syarat di atas:

1. $x \leq 5$
2. $x < -3$ atau $x > 2$

Irisannya adalah:

• Untuk $x < -3$, memenuhi $x \leq 5$.
• Untuk $x > 2$, dibatasi oleh $x \leq 5$, sehingga menjadi $2 < x \leq 5$.

Jadi, daerah asal fungsi $f$ adalah:

Pembahasan

Menentukan Perbandingan Panjang Sisi

Volume kubus ($V$) berbanding lurus dengan pangkat tiga dari panjang sisinya ($s$). Diketahui perbandingan volume adalah $1 : 27$.

Jadi, perbandingan panjang sisi kedua kubus adalah $1 : 3$.

Menentukan Perbandingan Luas Permukaan

Luas permukaan kubus ($L$) berbanding lurus dengan kuadrat dari panjang sisinya.

Jadi, perbandingan luas permukaan kedua kubus tersebut adalah $1 : 9$.

Pembahasan

Misalkan:

• $P(A)$ = Peluang Ali lulus UN
• $P(B)$ = Peluang Bima lulus UN
• $P(D)$ = Peluang Dika lulus UN

Diketahui:

Jika yang lulus hanya satu orang, maka terdapat tiga kemungkinan kejadian saling lepas:

Ali lulus, Bima dan Dika tidak lulus

2. Bima lulus, Ali dan Dika tidak lulus

Dika lulus, Ali dan Bima tidak lulus

Total Peluang

Jadi, peluang hanya satu yang lulus adalah jumlah dari ketiga kemungkinan tersebut:

Pembahasan

Soal ini dapat diselesaikan dengan perbandingan berbalik nilai.

Diketahui:

Menghitung Jumlah Pekerja yang Dibutuhkan

Sehingga dapat dituliskan:

Jadi, banyaknya pekerja yang diperlukan agar dapat menyelesaikan dalam $9$ hari adalah $20$ pekerja.

Menghitung Persen Penambahan

Sehingga persen penambahan pekerja adalah:

Pembahasan

Sifat Rata-rata dan Jangkauan

• Rata-rata: Nilainya akan berubah jika setiap data ditambah, dikurangi, dikali, atau dibagi.
• Jangkauan: Nilainya hanya akan berubah jika setiap data dikali atau dibagi (tidak berubah jika ditambah atau dikurangi).

Menentukan Nilai $b$

Jangkauan awal adalah $12$, kemudian nilai setiap data dikurangi dengan $a$ dan dibagi dengan $b$. Karena nilai jangkauan hanya akan berubah saat dikali atau dibagi, maka nilai jangkauan baru menjadi:

Menentukan Nilai $a$

Diketahui rata-rata awal $24$, kemudian setiap data dikurangi dengan $a$ dan dibagi dengan $b$, sehingga rata-rata baru menjadi:

Substitusikan nilai $b = 2$:

Jadi, nilai $a = 4$ dan $b = 2$.

Pembahasan

Mengubah ke Bentuk Pecahan

Untuk mengetahui urutan terkecil ke terbesar, kita ubah semua bilangan menjadi bentuk pecahan dengan penyebut yang sama.

Menyamakan Penyebut

Kita samakan penyebutnya menjadi $2100$ (KPK dari $100$, $14$, dan $3$).

Untuk $\sqrt{12}$, karena nilainya sekitar $3,46$, jika dijadikan pecahan per 2100 akan menjadi sangat besar (jauh lebih besar dari yang lain yang nilainya di bawah 2).

Kesimpulan

Berdasarkan pembilang yang telah disamakan penyebutnya:

Maka urutannya adalah:

Kembali ke bentuk awal:

Pembahasan

Menghitung Nilai $x$

Diketahui $x = \frac{3}{4}$ dari $34$, yang berarti:

Menghitung Nilai $y$

Diketahui $y = 46\%$ dari $86$, maka:

Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, kita peroleh $x = 25,5$ dan $y = 39,56$.

Akibatnya, $x < y$.

Pembahasan

Misalkan $x = 3,15931593...$.

Karena terdapat $4$ digit yang berulang (yaitu $1593$), kita kalikan $x$ dengan $10000$:

Selanjutnya, kita kurangkan persamaan ini dengan persamaan awal $x$:

Maka, kita peroleh:

Kita sederhanakan pecahan tersebut dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $9$:

Pembahasan

Mencari Hubungan $p$ dan $l$

Diketahui bahwa keliling persegi panjang adalah $6l$. Rumus keliling persegi panjang adalah $2(p + l)$ atau $2p + 2l$. Maka: