Soal 1

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan titik persekutuan (titik potong) antara dua garis:

1. $y = 2x + 3$
2. $y = ax + b$

Agar kita bisa menentukan titik potong yang unik $(x, y)$, kita harus bisa menyelesaikan sistem persamaan tersebut. Mari kita samakan kedua persamaan:

Dari persamaan di atas, nilai $x$ dapat ditentukan jika dan hanya jika koefisien $x$ tidak nol, yaitu $2 - a \neq 0$ atau $a \neq 2$. Jika $a \neq 2$, maka:

Setelah mendapatkan $x$, kita bisa mencari $y$ dengan mensubstitusi ke salah satu persamaan. Jadi, untuk menentukan titik potong secara spesifik, kita perlu mengetahui:

1. Bahwa $a \neq 2$ (agar garis berpotongan di satu titik).
2. Nilai $b$ (untuk menghitung nilai koordinatnya).

Analisis Pernyataan 1

Pernyataan $(1)$ memberikan informasi $a \neq 2$. Ini menjamin bahwa kedua garis memiliki gradien yang berbeda ($m_1 = 2$ dan $m_2 = a \neq 2$), sehingga mereka pasti berpotongan di satu titik. Namun, kita tidak mengetahui nilai $b$. Tanpa nilai $b$, kita tidak bisa menentukan koordinat titik potong tersebut (nilai $x$ dan $y$ masih bergantung pada $b$). Oleh karena itu, pernyataan $(1)$ saja tidak cukup.

Analisis Pernyataan 2

Pernyataan $(2)$ memberikan informasi $b = 3$. Persamaan kedua menjadi $y = ax + 3$. Kita tidak mengetahui nilai $a$.

• Jika $a = 2$, maka garisnya menjadi $y = 2x + 3$, yang berimpit dengan garis pertama (titik potong tak hingga banyaknya).
• Jika $a \neq 2$, garis berpotongan di satu titik.

Karena $a$ tidak diketahui, kita tidak bisa memastikan apakah ada satu titik potong, dan kita juga tidak bisa menentukan koordinatnya. Oleh karena itu, pernyataan $(2)$ saja tidak cukup.

Analisis Kedua Pernyataan Bersama-sama

Jika kita menggabungkan kedua pernyataan:

1. $a \neq 2$
2. $b = 3$

Kita substitusi ke dalam persamaan untuk mencari $x$:

(Pembagian dengan $2 - a$ valid karena $a \neq 2$). Kemudian kita cari $y$:

Kita mendapatkan titik potong yang unik yaitu $(0, 3)$. Karena kita bisa menentukan titik potongnya, maka kedua pernyataan bersama-sama cukup.

Jadi, dua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi satu pernyataan saja tidak cukup.