Set 6

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan titik persekutuan (titik potong) antara dua garis:

1. $y = 2x + 3$
2. $y = ax + b$

Agar kita bisa menentukan titik potong yang unik $(x, y)$, kita harus bisa menyelesaikan sistem persamaan tersebut. Mari kita samakan kedua persamaan:

Dari persamaan di atas, nilai $x$ dapat ditentukan jika dan hanya jika koefisien $x$ tidak nol, yaitu $2 - a \neq 0$ atau $a \neq 2$. Jika $a \neq 2$, maka:

Setelah mendapatkan $x$, kita bisa mencari $y$ dengan mensubstitusi ke salah satu persamaan. Jadi, untuk menentukan titik potong secara spesifik, kita perlu mengetahui:

1. Bahwa $a \neq 2$ (agar garis berpotongan di satu titik).
2. Nilai $b$ (untuk menghitung nilai koordinatnya).

Analisis Pernyataan 1

Pernyataan $(1)$ memberikan informasi $a \neq 2$. Ini menjamin bahwa kedua garis memiliki gradien yang berbeda ($m_1 = 2$ dan $m_2 = a \neq 2$), sehingga mereka pasti berpotongan di satu titik. Namun, kita tidak mengetahui nilai $b$. Tanpa nilai $b$, kita tidak bisa menentukan koordinat titik potong tersebut (nilai $x$ dan $y$ masih bergantung pada $b$). Oleh karena itu, pernyataan $(1)$ saja tidak cukup.

Analisis Pernyataan 2

Pernyataan $(2)$ memberikan informasi $b = 3$. Persamaan kedua menjadi $y = ax + 3$. Kita tidak mengetahui nilai $a$.

• Jika $a = 2$, maka garisnya menjadi $y = 2x + 3$, yang berimpit dengan garis pertama (titik potong tak hingga banyaknya).
• Jika $a \neq 2$, garis berpotongan di satu titik.

Karena $a$ tidak diketahui, kita tidak bisa memastikan apakah ada satu titik potong, dan kita juga tidak bisa menentukan koordinatnya. Oleh karena itu, pernyataan $(2)$ saja tidak cukup.

Analisis Kedua Pernyataan Bersama-sama

Jika kita menggabungkan kedua pernyataan:

1. $a \neq 2$
2. $b = 3$

Kita substitusi ke dalam persamaan untuk mencari $x$:

(Pembagian dengan $2 - a$ valid karena $a \neq 2$). Kemudian kita cari $y$:

Kita mendapatkan titik potong yang unik yaitu $(0, 3)$. Karena kita bisa menentukan titik potongnya, maka kedua pernyataan bersama-sama cukup.

Jadi, dua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi satu pernyataan saja tidak cukup.

Pembahasan

Diketahui:

• Berat awal (kayu basah) = $90$ gram.
• Berat akhir (kayu kering) = $60$ gram.

Kandungan air dalam kayu adalah selisih antara berat awal dan berat akhir:

Persentase kandungan air dihitung terhadap berat awal (kayu basah):

Jadi, kandungan air dalam kayu basah tersebut adalah $33\frac{1}{3}\%$.

Pembahasan

Misalkan $L$ adalah anak laki-laki dan $P$ adalah anak perempuan.

Ruang sampel untuk keluarga dengan $3$ orang anak (tanpa syarat) memiliki $2^3 = 8$ kemungkinan:

Diketahui syarat "salah satu anak berjenis kelamin perempuan". Artinya, kejadian "semua anak laki-laki" ($LLL$) tidak mungkin terjadi.

Ruang sampel baru ($S$) adalah semua kemungkinan kecuali $LLL$:

Banyaknya anggota ruang sampel adalah $n(S) = 7$.

Kejadian yang diharapkan ($A$) adalah memiliki $2$ anak perempuan dan $1$ anak laki-laki.

Dari ruang sampel $S$, kemungkinan yang memenuhi syarat tersebut adalah:

Banyaknya kejadian yang diharapkan adalah $n(A) = 3$.

Peluang kejadian tersebut adalah:

Jadi, peluang keluarga tersebut memiliki $2$ anak perempuan dan $1$ anak laki-laki adalah $\frac{3}{7}$.

Pembahasan

Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar:

Banyak data $n = 7$.

Analisis Pernyataan 1

Median (nilai tengah) adalah data ke-$\frac{n+1}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Nilai data ke-$4$ adalah $4$.

Pernyataan $1$ BENAR.

Analisis Pernyataan 2

Jangkauan (range) adalah selisih nilai terbesar dan terkecil.

Pernyataan $2$ SALAH (seharusnya $5$, bukan $6$).

Analisis Pernyataan 3

Selisih jangkauan dan median:

Pernyataan $3$ BENAR.

Analisis Pernyataan 4

Rata-rata ($\bar{x}$) adalah jumlah seluruh data dibagi banyak data.

Nilai $3\frac{5}{7}$ tidak sama dengan $4,5$. Pernyataan $4$ SALAH.

Kesimpulan

Pernyataan yang benar adalah $(1)$ dan $(3)$.

Pembahasan

Diketahui persamaan $x^2 + y^2 = 169$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat. Nilai $169$ adalah kuadrat dari $13$ ($13^2 = 169$). Pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan lingkaran ini dapat dicari dengan menggunakan tripel Pythagoras atau sifat kuadrat sempurna.

Pasangan-pasangan yang mungkin adalah:

1. Jika salah satu variabel bernilai $0$, maka variabel lainnya $\pm 13$. Pasangan: $(13, 0), (-13, 0), (0, 13), (0, -13)$. Nilai $x + y$ yang mungkin:

   $$\pm 13 + 0 = \pm 13$$

2. Jika kedua variabel bukan nol, kita mencari kombinasi kuadrat yang jumlahnya $169$. Pasangan tripel Pythagoras yang melibatkan $13$ sebagai sisi miring adalah $(5, 12, 13)$ karena $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Pasangan $(x, y)$ yang mungkin (termasuk nilai negatif): $(\pm 5, \pm 12)$ dan $(\pm 12, \pm 5)$. Nilai $x + y$ yang mungkin dari kombinasi ini:

   $$\begin{aligned} 5 + 12 &= 17 \\ 5 + (-12) &= -7 \\ -5 + 12 &= 7 \\ -5 + (-12) &= -17 \end{aligned}$$

   Jadi, nilai $x + y$ bisa bernilai $\pm 17$ atau $\pm 7$.

Kumpulan semua nilai $x + y$ yang mungkin adalah $\{\pm 13, \pm 17, \pm 7\}$.

Analisis Pernyataan 1

Nilai $\pm 7$ termasuk dalam himpunan solusi. Pernyataan $1$ BENAR.

Analisis Pernyataan 2

Nilai $\pm 10$ TIDAK termasuk dalam himpunan solusi. Pernyataan $2$ SALAH.

Analisis Pernyataan 3

Nilai $\pm 13$ termasuk dalam himpunan solusi. Pernyataan $3$ BENAR.

Analisis Pernyataan 4

Nilai $\pm 14$ TIDAK termasuk dalam himpunan solusi. Pernyataan $4$ SALAH.

Kesimpulan

Pernyataan yang benar adalah $(1)$ dan $(3)$.

Pembahasan

Kita diberikan fungsi $f(x) = 2x - 3$ dan fungsi komposisi $(g \circ f)(x) = 4x^2 - 12x + 10$. Kita diminta untuk mencari nilai dari $g(1)$.

Definisi fungsi komposisi adalah $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Misalkan $u = f(x) = 2x - 3$. Kita ubah persamaan ini untuk menyatakan $x$ dalam $u$:

Substitusikan $x$ ke dalam persamaan $(g \circ f)(x)$:

Sehingga, diperoleh $g(x) = x^2 + 1$.

Maka nilai $g(1)$ adalah:

Jadi, nilai $g(1)$ adalah $2$.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan determinan berikut:

Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks di ruas kiri dan ruas kanan. Ingat bahwa determinan matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $ad - bc$.

Determinan ruas kiri:

Determinan ruas kanan:

Sekarang kita samakan kedua hasil tersebut:

Pindahkan $5$ ke ruas kiri untuk membentuk persamaan kuadrat:

Kita faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $3 \times (-5) = -15$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $-2$. Bilangan tersebut adalah $-5$ dan $3$.

Maka, solusinya adalah:

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\frac{5}{3}$ dan $-1$.

Pembahasan

Diketahui definisi operasi fungsi $W(P@Q\#R) = 2P^2 - Q + 3\sqrt{R}$.

Kita diminta untuk mencari nilai dari $W(5@8\#4)$.

Berdasarkan posisi variabel dalam definisi fungsi, kita dapat mengidentifikasi nilai-nilai berikut:

• $P = 5$
• $Q = 8$
• $R = 4$

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan fungsi:

Lakukan perhitungan langkah demi langkah:

1. Hitung kuadrat: $5^2 = 25$
2. Hitung akar: $\sqrt{4} = 2$

Maka persamaan menjadi:

Jadi, nilai dari $W(5@8\#4)$ adalah $48$.

Pembahasan

Mari kita analisis jumlah simetri lipat dan simetri putar untuk setiap bangun datar yang diberikan:

1. Segitiga siku-siku sama kaki

   • Simetri lipat: $1$ (garis tinggi dari sudut siku-siku ke hipotenusa).
   • Simetri putar: $1$ (putaran $360^\circ$).
   • Kesimpulan: Jumlahnya sama.

2. Trapesium siku-siku

   • Simetri lipat: $0$.
   • Simetri putar: $1$ (putaran $360^\circ$).
   • Kesimpulan: Jumlahnya tidak sama.

3. Persegi panjang (bukan persegi)

   • Simetri lipat: $2$ (sumbu vertikal dan horizontal).
   • Simetri putar: $2$ (putaran $180^\circ$ dan $360^\circ$).
   • Kesimpulan: Jumlahnya sama.

4. Belah ketupat (bukan persegi)

   • Simetri lipat: $2$ (kedua diagonal).
   • Simetri putar: $2$ (putaran $180^\circ$ dan $360^\circ$).
   • Kesimpulan: Jumlahnya sama.

Bangun yang memiliki banyak simetri putar sama dengan banyak simetri lipat adalah:

1. Segitiga siku-siku sama kaki.
2. Persegi panjang.
3. Belah ketupat.

Jadi, ada $3$ bangun yang memenuhi kondisi tersebut.

Pembahasan

Diketahui persamaan rekursif:

Kita dapat mengubah bentuk persamaan tersebut untuk mencari $a_{n+2}$:

Langkah 1: Cari nilai $a_3$ dengan substitusi $n = 1$. Diketahui $a_1 = 8$ dan $a_2 = -5$.

Langkah 2: Cari nilai $a_4$ dengan substitusi $n = 2$.

Langkah 3: Hitung jumlah $a_3 + a_4$.

Jadi, nilai $a_3 + a_4$ adalah $34$.

Pembahasan

Langkah 1: Hitung lebar sebenarnya dari benda tersebut. Diketahui luas persegi panjang adalah $540\text{ m}^2$ dan panjangnya $30\text{ m}$.

Konversikan ke satuan cm:

Langkah 2: Hitung lebar miniatur menggunakan perbandingan yang diketahui. Perbandingan ukuran miniatur terhadap ukuran sebenarnya adalah $5 : 2500$ atau $\frac{5}{2500}$.

Jadi, lebar miniatur benda tersebut adalah $3,6\text{ cm}$.

Pembahasan

Perhatikan segitiga kecil di bagian bawah. Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ$. Diketahui sudut puncaknya adalah $100^\circ$. Maka jumlah dua sudut alasnya adalah:

Selanjutnya, perhatikan segitiga besar. Sudut-sudut alasnya adalah $(x+y)$ dan $(y+x)$. Karena $x+y = 80^\circ$, maka kedua sudut alas segitiga besar masing-masing adalah $80^\circ$. Jumlah sudut dalam segitiga besar adalah $180^\circ$:

Jadi, nilai $a$ adalah $20^\circ$.

Pembahasan

Kita akan menganalisis kuantitas $P$ dan $Q$ secara terpisah.

Analisis Kuantitas P

Bentuk $P$ dapat disederhanakan sebagai berikut:

Diketahui $0 < x < 1$. Maka:

Analisis Kuantitas Q

Diketahui $Q = 2+x$. Karena $0 < x < 1$, maka:

Membandingkan P dan Q

Dari analisis di atas, kita peroleh:

• $1 < P < 2$
• $2 < Q < 3$

Terlihat jelas bahwa nilai maksimum $P$ kurang dari nilai minimum $Q$.

Jadi, $P < Q$.

Pembahasan

Diketahui fungsi $g(x) = 3x + 2$. Kita akan mensubstitusikan fungsi ini ke dalam persamaan yang diberikan.

Pertama, kita tentukan bentuk $g^2(x)$ dan $g(x^2)$:

Substitusikan bentuk-bentuk tersebut ke persamaan awal:

Kelompokkan suku-suku yang sejenis:

Persamaan kuadrat ini memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

Jadi, nilai $x_1 + x_2$ adalah $-\frac{3}{5}$.

Pembahasan

Kita akan mencari nilai bilangan yang diganti (nilai $P$) terlebih dahulu.

Analisis Kuantitas P

Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah $a, b,$ dan $c$. Diketahui rata-rata awal adalah $24$:

Misalkan bilangan $c$ diganti dengan angka $14$. Rata-rata baru berkurang $3$ dari rata-rata awal, sehingga rata-rata baru menjadi $24 - 3 = 21$.

Kita substitusikan nilai $a + b = 49$ ke persamaan awal untuk mencari nilai $c$:

Jadi, bilangan yang diganti adalah $23$. Maka, $P = 23$.

Membandingkan P dan Q

Diketahui $Q = 42$.

Jelas terlihat bahwa $23 < 42$.

Jadi, $P < Q$.

Pembahasan

Masalah ini adalah tentang perbandingan berbalik nilai. Jika jumlah pekerja bertambah, waktu yang dibutuhkan akan berkurang, dan sebaliknya.

Diketahui:

• $15$ orang dapat menyelesaikan pekerjaan dalam $35$ hari.
• Pekerjaan ingin diselesaikan dalam $3$ minggu $= 3 \times 7 = 21$ hari.

Misalkan $P$ adalah jumlah total pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan dalam $21$ hari.

Jadi, dibutuhkan total $25$ orang pekerja.

Yang ditanyakan adalah tambahan pekerja. Jumlah pekerja awal adalah $15$ orang.