Soal 10

Pembahasan

Diketahui pertidaksamaan:

Kita ubah ke bentuk umum fungsi kuadrat dengan memindahkan $-4$ ke ruas kiri:

Agar fungsi kuadrat selalu bernilai positif (definit positif) untuk setiap $x$ real, maka grafik fungsi harus seluruhnya berada di atas sumbu-$x$. Syarat yang harus dipenuhi adalah:

1. Koefisien $x^2$ harus positif ($a > 0$).
2. Diskriminan harus negatif ($D < 0$).

Syarat 1: $a > 0$

Syarat 2: $D < 0$

Ingat bahwa $D = b^2 - 4ac$. Dengan $a = 2m + 1$, $b = -4(m + 1)$, dan $c = m + 4$:

Bagi kedua ruas dengan $4$ untuk menyederhanakan:

Pembuat nol adalah $m = 0$ dan $m = \frac{1}{2}$. Karena tandanya "<", maka penyelesaiannya berada di antara pembuat nol:

Kesimpulan

Kita cari irisan dari syarat $(1)$ dan $(2)$:

• Syarat $(1)$: $m > -\frac{1}{2}$
• Syarat $(2)$: $0 < m < \frac{1}{2}$

Irisan dari kedua daerah tersebut adalah: