Set 8

Pembahasan

Misalkan $x = 0,323323323...$. Karena ada tiga digit yang berulang ($323$), kita kalikan kedua ruas dengan $1000$.

Selanjutnya, kita kurangkan persamaan ini dengan persamaan awal $x = 0,323323...$:

Sehingga diperoleh:

Jadi, bentuk pecahan biasa dari bilangan tersebut adalah $\frac{323}{999}$.

Pembahasan

Pola bilangan di atas terdiri dari dua barisan yang saling selang-seling (lompat satu).

Pola 1 (Suku ganjil)

$42, 39, 34, 27, ...$

Selisih antar suku berturut-turut adalah:

Terlihat polanya adalah pengurangan bilangan ganjil berurutan ($-3, -5, -7$). Maka, selisih berikutnya adalah $-9$. Suku berikutnya: $27 - 9 = 18$.

Pola 2 (Suku genap)

$40, 36, 30, 22, ...$

Selisih antar suku berturut-turut adalah:

Terlihat polanya adalah pengurangan bilangan genap berurutan ($-4, -6, -8$). Maka, selisih berikutnya adalah $-10$. Suku berikutnya: $22 - 10 = 12$.

Jadi, dua bilangan berikutnya adalah $18$ dan $12$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa:

Maka nilai $A$ adalah:

Dan nilai $B$ adalah:

Dengan demikian, $A > B$.

Pembahasan

Diketahui data baru mengikuti pola:

Maka rata-rata barunya dapat diperoleh dengan:

Akan dicari terlebih dahulu jumlah dari deret aritmatika $3, 5, 7, ...$. Barisan ini memiliki suku pertama $a = 3$ dan beda $b = 2$. Suku ke-10 adalah:

Jumlah 10 suku pertama adalah:

Rata-rata data baru dapat ditulis sebagai berikut:

Jadi, rata-rata barunya adalah $\frac{1}{2}x_0 + 12$.

Pembahasan

Misalkan:

• $P(h_1) =$ Peluang hitam pada kotak 1
• $P(h_2) =$ Peluang hitam pada kotak 2
• $P(p_1) =$ Peluang putih pada kotak 1
• $P(p_2) =$ Peluang putih pada kotak 2

Diketahui peluang bola hitam dari kedua kotak adalah $\frac{3}{10}$. Karena pengambilan bola dari kotak 1 dan kotak 2 adalah kejadian saling bebas, maka:

Kita perlu mencari pasangan faktor dari $120$ yang keduanya kurang dari atau sama dengan $20$ (jumlah maksimal bola). Pasangan yang mungkin adalah $12$ dan $10$ (atau sebaliknya). Misalkan $n(h_1) = 12$ dan $n(h_2) = 10$.

Maka jumlah bola putih adalah:

• Kotak 1: $20 - 12 = 8$ bola putih
• Kotak 2: $20 - 10 = 10$ bola putih

Peluang kedua bola berwarna putih adalah:

Diketahui $\frac{m}{n} = \frac{1}{5}$. Sehingga $m = 1$ dan $n = 5$. Nilai $m + n = 1 + 5 = 6$.

Pembahasan

Urutan anggota dalam himpunan tidak diperhatikan, sehingga kita menggunakan konsep kombinasi.

Total banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan dengan $n$ anggota adalah $2^n$. Diketahui $n = 10$, maka total himpunan bagian adalah:

Kita diminta mencari banyaknya himpunan bagian yang memiliki anggota lebih dari $3$. Artinya, kita mencari jumlah himpunan bagian dengan $4$, $5$, $6$, ..., $10$ anggota.

Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan prinsip komplemen: Total himpunan bagian dikurangi himpunan bagian dengan anggota $0$, $1$, $2$, atau $3$.

Rumus kombinasi adalah:

Mari kita hitung satu per satu.

Himpunan bagian dengan 0 anggota

Himpunan bagian dengan 1 anggota

Himpunan bagian dengan 2 anggota

Himpunan bagian dengan 3 anggota

Jumlah himpunan bagian dengan anggota $\leq 3$ adalah:

Maka, banyaknya himpunan bagian dengan anggota lebih dari $3$ adalah:

Jadi, banyaknya himpunan bagian dari $A$ yang memiliki anggota lebih dari $3$ adalah $848$.

Pembahasan

Berdasarkan definisi operasi $\odot$, kita akan menghitung nilai $(5 \odot 2) \odot 3$ secara bertahap. Pertama, kita hitung bagian dalam kurung, yaitu $5 \odot 2$ dengan $a = 5$ dan $b = 2$.

Selanjutnya, hasil tersebut kita operasikan dengan $3$. Sekarang kita menghitung $24 \odot 3$ dengan $a = 24$ dan $b = 3$.

Jadi, nilai dari $(5 \odot 2) \odot 3$ adalah $208$.

Pembahasan

Misalkan $A$ adalah umur Ali sekarang dan $T$ adalah umur Tika sekarang. Diketahui perbandingan umur Ali dan Tika tiga tahun lalu adalah $4:5$.

Pada tiga tahun yang akan datang, perbandingan umur Ali dan Tika adalah $5:6$.

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, kita lakukan eliminasi untuk mencari nilai $A$. Kalikan persamaan $(1)$ dengan $5$ dan persamaan $(2)$ dengan $4$.

Diperoleh umur Ali sekarang adalah $27$ tahun. Selanjutnya, kita substitusi nilai $A = 27$ ke persamaan $(1)$ untuk mencari $T$.

Jadi, umur Tika sekarang adalah $33$ tahun. Selisih umur mereka adalah:

Pembahasan

Persamaan garis singgung $h$ yaitu $y = mx + c$. Dengan $y = 3$ dan $x = -1$, maka:

Sehingga persamaan garis singgung dapat ditulis $y = mx + (m + 3)$. Diketahui bahwa garis $h$ memotong grafik $y = -x^2$ pada dua titik berbeda, maka:

Agar memotong di dua titik berbeda, diskriminan $D > 0$.

Pembuat nol adalah $m = -2$ dan $m = 6$. Dengan uji titik, diperoleh himpunan penyelesaian:

Pembahasan

Diketahui pertidaksamaan:

Kita ubah ke bentuk umum fungsi kuadrat dengan memindahkan $-4$ ke ruas kiri:

Agar fungsi kuadrat selalu bernilai positif (definit positif) untuk setiap $x$ real, maka grafik fungsi harus seluruhnya berada di atas sumbu-$x$. Syarat yang harus dipenuhi adalah:

1. Koefisien $x^2$ harus positif ($a > 0$).
2. Diskriminan harus negatif ($D < 0$).

Syarat 1: $a > 0$

Syarat 2: $D < 0$

Ingat bahwa $D = b^2 - 4ac$. Dengan $a = 2m + 1$, $b = -4(m + 1)$, dan $c = m + 4$:

Bagi kedua ruas dengan $4$ untuk menyederhanakan:

Pembuat nol adalah $m = 0$ dan $m = \frac{1}{2}$. Karena tandanya "<", maka penyelesaiannya berada di antara pembuat nol:

Kesimpulan

Kita cari irisan dari syarat $(1)$ dan $(2)$:

• Syarat $(1)$: $m > -\frac{1}{2}$
• Syarat $(2)$: $0 < m < \frac{1}{2}$

Irisan dari kedua daerah tersebut adalah:

Pembahasan

Misalkan:

• $J_A =$ Jarak yang ditempuh Ali hingga berpapasan
• $J_T =$ Jarak yang ditempuh Tika hingga berpapasan
• $v_A =$ Kecepatan Ali $= 60$ km/jam
• $v_T =$ Kecepatan Tika $= 70$ km/jam

Waktu keberangkatan Ali dan Tika sama, maka waktu yang mereka perlukan hingga bertemu juga sama. Misalkan $t =$ waktu.

Maka:

Karena total jarak adalah $221$ km, maka:

Maka waktu yang diperlukan hingga mereka berpapasan adalah:

Jadi, mereka berpapasan pada pukul:

Pembahasan

Misalkan:

• $\bar{x}_K =$ Nilai rata-rata kelas
• $n_L =$ Banyak siswa laki-laki
• $n_P =$ Banyak siswa perempuan
• $\bar{x}_L =$ Nilai rata-rata siswa laki-laki
• $\bar{x}_P =$ Nilai rata-rata siswa perempuan

Diketahui:

• $\bar{x}_K = 7,5$
• $\frac{n_L}{n_P} = \frac{3}{4} \implies n_L = 0,75 n_P$
• $\bar{x}_P = 1,75 + \bar{x}_L$

Nilai rata-rata kelas dapat diperoleh seperti berikut:

Substitusikan nilai yang diketahui:

Oleh karena itu, akan diperoleh nilai rata-rata siswa perempuan:

Pembahasan

Semakin sedikit pekerja yang bekerja, maka waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan akan semakin lama. Sehingga merupakan perbandingan berbalik nilai.

Misalkan $x =$ hari yang diperlukan.

Jadi, lamanya waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pesanan jika hanya $15$ orang yang bekerja adalah $16$ hari. Maka, waktu tambahan yang diperlukan adalah:

Pembahasan

Banyaknya cara mengambil bola merah adalah:

Banyaknya cara mengambil bola putih adalah:

Banyaknya kemungkinan cara pengambilan bola adalah:

Misalkan $A =$ Kejadian terambil $2$ merah dan $1$ putih.

Peluang terambilnya $2$ bola merah dan $1$ bola putih, yaitu:

Pembahasan

Dalam operasi hitung penjumlahan atau pengurangan, bisa menggunakan sifat asosiatif untuk mempermudah penghitungan.

Terdapat $\frac{2014}{2} = 1007$ kelompok, sehingga:

Pembahasan

Barisan bilangan yang diberikan adalah:

Mari kita analisis selisih antara setiap suku yang berurutan:

Jika kita perhatikan pola selisih tersebut ($2,5; \ 5; \ 10; \ 20; \ 40$), terlihat bahwa setiap selisih merupakan hasil perkalian selisih sebelumnya dengan $2$ (rasio $2$).

Oleh karena itu, selisih berikutnya setelah $40$ adalah:

Maka, bilangan yang mengisi titik-titik tersebut adalah:

Untuk memverifikasi kebenaran pola ini, kita akan menghitung suku selanjutnya dan mencocokkannya dengan suku terakhir yang diketahui ($318$). Selisih berikutnya setelah $80$ adalah $80 \times 2 = 160$.

Hasil perhitungan sesuai dengan suku terakhir pada soal.

Jadi, bilangan yang tepat untuk melengkapi pola tersebut adalah $158$.

Pembahasan

Pecahan-pecahan tersebut dapat dituliskan menjadi bentuk $1 + \frac{1}{x}$ sebagai berikut:

Jadi, semua bilangan memiliki bentuk $1 + \frac{1}{x}$. Untuk mendapatkan nilai terbesar, kita perlu mencari pecahan dengan nilai $\frac{1}{x}$ yang paling besar. Nilai $\frac{1}{x}$ akan semakin besar jika penyebut $x$ semakin kecil.

Dari kelima pecahan di atas, nilai $x$ masing-masing adalah $33, 60, 55, 124,$ dan $25$. Nilai $x$ yang terkecil adalah $25$.

Dengan demikian, nilai yang terbesar adalah $\frac{26}{25}$.

Mari kita hitung nilai desimalnya:

Nilai desimalnya adalah $1,040$.

Pembahasan

Karena air dalam wadah setengah bola akan dipindahkan ke wadah tabung, maka volume air tetap sama.

Karena jari-jari bola sama dengan jari-jari tabung, kita dapat menyederhanakan persamaan dengan membagi kedua sisi dengan $\pi \cdot r^2$:

Diketahui jari-jari $r = 15 \text{ cm}$. Kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan:

Jadi, tinggi air dalam tabung adalah $10 \text{ cm}$.

Pembahasan

Misalkan:

• $n(S)$ = Banyaknya siswa dalam kelas
• $n(P)$ = Banyaknya yang mengikuti pramuka
• $n(F)$ = Banyaknya yang mengikuti futsal

Diketahui:

Banyaknya orang yang tidak mengikuti keduanya ($n(P \cup F)^c$) dapat diperoleh dengan rumus himpunan semesta:

Substitusikan nilai yang diketahui:

Jadi, banyaknya siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler pramuka dan futsal adalah $10$.