Soal 12

Diberikan limas beraturan $T.ABCD$ dengan $AB = 4 \text{ cm}$ dan titik $O$ merupakan titik potong garis $AC$ dengan $BD$ . Berapa volume dari limas $T.ABCD$ ?

Limas Beraturan T.ABCD

Visualisasi limas beraturan

T.ABCD

dengan alas persegi

ABCD

dan pusat alas di titik

O

Putuskan apakah pernyataan $(1)$ dan $(2)$ berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut.

(1) \quad AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}

(2) \quad AT = \sqrt{17} \text{ cm}

Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA tidak cukup

Pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup

DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup

Pernyataan $(1)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan

Pernyataan $(1)$ dan pernyataan $(2)$ tidak cukup untuk menjawab pertanyaan

Pembahasan

Diketahui limas beraturan $T.ABCD$ dengan $AB = 4 \text{ cm}$ dan titik $O$ merupakan titik potong garis $AC$ dengan $BD$ .

Volume limas dapat dihitung dengan rumus:

V = \frac{1}{3} \times L_{\text{alas}} \times t = \frac{1}{3} \times s^2 \times t

dengan $s$ adalah panjang sisi alas dan $t$ adalah tinggi limas.

Karena $AB = 4 \text{ cm}$ , maka luas alas $L_{\text{alas}} = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$ .

Untuk menghitung volume, kita perlu mengetahui tinggi limas $t = TO$ .

Analisis Pernyataan $(1)$ : $AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}$

Diagonal persegi dengan sisi $s$ adalah $s\sqrt{2}$ .

Jika $AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}$ , maka:

s\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

s = 4

Ini konsisten dengan informasi yang diberikan ( $AB = 4 \text{ cm}$ ).

Titik $O$ adalah titik tengah diagonal, sehingga:

AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ cm}

Namun, pernyataan $(1)$ tidak memberikan informasi tentang tinggi limas $TO$ . Tanpa informasi tinggi, volume tidak dapat ditentukan.

Jadi, pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan $(2)$ : $AT = \sqrt{17} \text{ cm}$

Karena $AB = 4 \text{ cm}$ , diagonal alas $AC = 4\sqrt{2} \text{ cm}$ .

Titik $O$ adalah titik tengah diagonal, sehingga:

AO = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ cm}

Perhatikan segitiga siku-siku $AOT$ dengan sudut siku-siku di $O$ (karena $TO$ tegak lurus alas).

Dengan menggunakan teorema Pythagoras:

AT^2 = AO^2 + TO^2

(\sqrt{17})^2 = (2\sqrt{2})^2 + TO^2

17 = 8 + TO^2

TO^2 = 9

TO = 3 \text{ cm}

Dengan tinggi $TO = 3 \text{ cm}$ dan luas alas $L_{\text{alas}} = 16 \text{ cm}^2$ , volume limas dapat dihitung:

V = \frac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16 \text{ cm}^3

Jadi, pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.

Limas Beraturan T.ABCD dengan Label Panjang Sisi

Visualisasi limas beraturan

T.ABCD

dengan label panjang sisi-sisinya.

Kesimpulan:

Pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup, tetapi pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.

Command Palette

Nomor 12

Pembahasan