Soal 13

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x) = \frac{x-a}{x+a}$ untuk $x \neq -a$ dan $g(x) = bx^2 - x + 2$.

Pertanyaan yang harus dijawab adalah apakah $\frac{g(-2)}{f(-2)} > 0$.

Menghitung Nilai Fungsi

Pertama, kita hitung nilai dari $g(-2)$ dan $f(-2)$.

Untuk $g(-2)$, substitusi $x = -2$ ke dalam fungsi $g(x)$:

Untuk $f(-2)$, substitusi $x = -2$ ke dalam fungsi $f(x)$:

Sehingga perbandingan yang kita cari adalah:

Kita dapat menyederhanakan dengan memfaktorkan pembilang:

Agar $\frac{g(-2)}{f(-2)} > 0$, maka $\frac{4(b + 1)(2-a)}{2+a} > 0$.

Karena $4$ selalu positif, maka kita perlu menganalisis tanda dari $\frac{(b + 1)(2-a)}{2+a}$.

Analisis Pernyataan

Analisis Pernyataan $(1)$: $a < 5$ dan $b < 5$

Dari pernyataan ini, kita hanya tahu bahwa $a$ dan $b$ keduanya kurang dari $5$. Namun, tidak ada informasi pasti mengenai tanda dari faktor-faktor yang terlibat.

Mari kita periksa beberapa kemungkinan:

1. Jika $b = 0$, maka $b + 1 = 1 > 0$
2. Jika $b = -2$, maka $b + 1 = -1 < 0$
3. Untuk $2-a$, jika $a = 1$, maka $2-a = 1 > 0$
4. Untuk $2-a$, jika $a = 3$, maka $2-a = -1 < 0$
5. Untuk $2+a$, jika $a = 0$, maka $2+a = 2 > 0$
6. Untuk $2+a$, jika $a = -3$, maka $2+a = -1 < 0$

Karena tanda dari faktor-faktor tersebut dapat bervariasi dengan banyak kemungkinan kombinasi, kita tidak bisa memastikan apakah $\frac{g(-2)}{f(-2)} > 0$.

Jadi, pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup.

Analisis Pernyataan $(2)$: $a > 2$ dan $b > 0$

Dari pernyataan ini, mari kita analisis tanda dari setiap faktor:

1. Karena $b > 0$, maka $b + 1 > 1 > 0$ (positif)
2. Karena $a > 2$, maka $2 - a < 0$ (negatif)
3. Karena $a > 2$, maka $2 + a > 4 > 0$ (positif)

Sehingga kita punya:

Karena hasilnya negatif, maka $\frac{g(-2)}{f(-2)} < 0$, sehingga jawabannya adalah tidak, $\frac{g(-2)}{f(-2)}$ tidak lebih besar dari $0$.

Dengan demikian, pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dengan pasti (jawabannya adalah tidak).