Soal 17

Diberikan fungsi $f(x) = (x+3)(x^2+6x+8)^4$ dan $F(x) = \int f(x) \, dx$ . Jika $F(-3) = 2$ , maka fungsi $F(x)$ adalah ....

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{1}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{11}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{21}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{31}{10}$

$\frac{1}{10}(x^2+6x+8)^5 + \frac{41}{10}$

Diketahui fungsi $f(x) = (x+3)(x^2+6x+8)^4$ dan $F(x) = \int f(x) \, dx$ dengan kondisi $F(-3) = 2$ .

Untuk menyelesaikan integral ini, kita gunakan metode substitusi.

Misalkan $u = x^2 + 6x + 8$ .

Turunan $u$ terhadap $x$ :

\frac{du}{dx} = 2x + 6

Faktorkan:

\frac{du}{dx} = 2(x + 3)

Kalikan kedua ruas dengan $dx$ :

du = 2(x + 3) \, dx

Bagi kedua ruas dengan $2$ :

\frac{du}{2} = (x + 3) \, dx

Substitusi ke dalam integral:

F(x) = \int f(x) \, dx = \int (x+3)(x^2+6x+8)^4 \, dx

Dengan substitusi $u = x^2 + 6x + 8$ dan $(x+3) \, dx = \frac{du}{2}$ :

F(x) = \int u^4 \cdot \frac{du}{2}

= \frac{1}{2} \int u^4 \, du

= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C

= \frac{1}{10} u^5 + C

Substitusi kembali $u = x^2 + 6x + 8$ :

F(x) = \frac{1}{10}(x^2 + 6x + 8)^5 + C

Gunakan kondisi $F(-3) = 2$ :

F(-3) = \frac{1}{10}((-3)^2 + 6(-3) + 8)^5 + C = 2

Hitung nilai di dalam kurung:

(-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1

Substitusi:

\frac{1}{10}(-1)^5 + C = 2

\frac{1}{10}(-1) + C = 2

-\frac{1}{10} + C = 2

C = 2 + \frac{1}{10}

C = \frac{20}{10} + \frac{1}{10}

C = \frac{21}{10}

Substitusi nilai $C$ ke dalam $F(x)$ :

F(x) = \frac{1}{10}(x^2 + 6x + 8)^5 + \frac{21}{10}

Jadi, fungsi $F(x)$ adalah $\frac{1}{10}(x^2 + 6x + 8)^5 + \frac{21}{10}$ .

Command Palette