Soal 19

Diketahui garis $g_1$ melalui titik $A(-1, 1)$ dan $B(2, 3)$ . Diketahui pula persamaan garis $g_2$ : $mx + ny - 7 = 0$ , dengan $m$ dan $n$ bilangan real.

Pernyataan mana saja yang bernilai benar berdasarkan informasi di atas?

$(1)$ Garis $g_1$ dan $g_2$ sejajar jika $m = 4$ dan $n = 6$ .

$(2)$ Titik $B$ melalui garis $g_2$ apabila $m = 2$ dan $n = -1$ .

$(3)$ Jika $g_1$ dan $g_2$ sejajar, maka $\frac{m}{n} = -\frac{3}{2}$ .

$(4)$ Jika $m = 3$ dan $n = 2$ , maka $g_1$ dan $g_2$ saling tegak lurus.

$(1), (2), \text{ dan } (3)$ SAJA yang benar

$(1) \text{ dan } (3)$ SAJA yang benar

$(2) \text{ dan } (4)$ SAJA yang benar

$(4)$ SAJA yang benar

SEMUA pernyataan benar

Pembahasan

Diketahui garis $g_1$ melalui titik $A(-1, 1)$ dan $B(2, 3)$ , serta persamaan garis $g_2$ : $mx + ny - 7 = 0$ .

Menghitung Gradien Garis g₁

Gradien garis yang melalui dua titik dapat dihitung dengan:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Untuk garis $g_1$ yang melalui $A(-1, 1)$ dan $B(2, 3)$ :

m_1 = \frac{3 - 1}{2 - (-1)}

= \frac{2}{3}

Jadi, gradien garis $g_1$ adalah $m_1 = \frac{2}{3}$ .

Menentukan Gradien Garis g₂

Persamaan garis $g_2$ : $mx + ny - 7 = 0$ .

Ubah ke bentuk $y = mx + c$ :

mx + ny - 7 = 0

ny = -mx + 7

y = -\frac{m}{n}x + \frac{7}{n}

Jadi, gradien garis $g_2$ adalah $m_2 = -\frac{m}{n}$ .

Evaluasi Pernyataan (1)

Pernyataan: Garis $g_1$ dan $g_2$ sejajar jika $m = 4$ dan $n = 6$ .

Dua garis sejajar jika gradiennya sama.

Jika $m = 4$ dan $n = 6$ , maka:

m_2 = -\frac{m}{n} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}

Karena $m_1 = \frac{2}{3}$ dan $m_2 = -\frac{2}{3}$ , maka $m_1 \neq m_2$ .

Jadi, pernyataan $(1)$ bernilai salah.

Evaluasi Pernyataan (2)

Pernyataan: Titik $B$ melalui garis $g_2$ apabila $m = 2$ dan $n = -1$ .

Titik $B(2, 3)$ melalui garis $g_2$ jika memenuhi persamaan $mx + ny - 7 = 0$ .

Substitusi $m = 2$ , $n = -1$ , dan $B(2, 3)$ :

mx + ny - 7 = 2(2) + (-1)(3) - 7

= 4 - 3 - 7

= -6

\neq 0

Karena hasilnya tidak sama dengan $0$ , titik $B$ tidak melalui garis $g_2$ .

Jadi, pernyataan $(2)$ bernilai salah.

Evaluasi Pernyataan (3)

Pernyataan: Jika $g_1$ dan $g_2$ sejajar, maka $\frac{m}{n} = -\frac{3}{2}$ .

Jika kedua garis sejajar, maka $m_1 = m_2$ :

\frac{2}{3} = -\frac{m}{n}

\frac{m}{n} = -\frac{2}{3}

Jadi, jika $g_1$ dan $g_2$ sejajar, maka $\frac{m}{n} = -\frac{2}{3}$ , bukan $-\frac{3}{2}$ .

Jadi, pernyataan $(3)$ bernilai salah.

Evaluasi Pernyataan (4)

Pernyataan: Jika $m = 3$ dan $n = 2$ , maka $g_1$ dan $g_2$ saling tegak lurus.

Dua garis saling tegak lurus jika hasil kali gradiennya sama dengan $-1$ , yaitu $m_1 \times m_2 = -1$ .

Jika $m = 3$ dan $n = 2$ , maka:

m_2 = -\frac{m}{n} = -\frac{3}{2}

Periksa apakah $m_1 \times m_2 = -1$ :

m_1 \times m_2 = \frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{2}\right)

= -\frac{6}{6}

= -1

Karena $m_1 \times m_2 = -1$ , maka $g_1$ dan $g_2$ saling tegak lurus.

Jadi, pernyataan $(4)$ bernilai benar.

Command Palette

Nomor 19