Set 1

Pembahasan

Diketahui: $a = \frac{1}{2}$; $b = 2$, $c = 1$

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk $\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{7} - 2\sqrt{3}}$, kita rasionalkan penyebutnya dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut yaitu $\sqrt{7} + 2\sqrt{3}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan sifat logaritma. Pertama, sederhanakan setiap bagian dengan mengubah bentuk logaritma dan menggunakan change of base.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita perlu memfaktorkan terlebih dahulu.

Misalkan $u = 9^x$, sehingga pertidaksamaan menjadi

Faktorkan persamaan kuadrat

Substitusi kembali $u = 9^x$

Cari nilai $x$ ketika ekspresi sama dengan nol

1. $9^x = 1 \Rightarrow 9^x = 9^0 \Rightarrow x = 0$
2. $9^x = 9 \Rightarrow 9^x = 9^1 \Rightarrow x = 1$

Dengan menggunakan garis bilangan, kita dapat menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan

Untuk $x < 0$, kedua faktor bernilai negatif, sehingga hasilnya positif

Untuk $0 < x < 1$, satu faktor positif dan satu negatif, sehingga hasilnya negatif

Untuk $x > 1$, kedua faktor bernilai positif, sehingga hasilnya positif

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{x < 0 \text{ atau } x > 1, x \in \mathbb{R}\}$

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 + ax - 4 = 0$ dengan akar-akar $p$ dan $q$

Berdasarkan rumus Vieta, kita tahu bahwa

Jika $p^2 - 2pq + q^2 = 8a$, maka kita dapat menyederhanakan ruas kiri

Substitusi nilai $p + q = -a$ dan $pq = -4$

Faktorkan persamaan kuadrat

Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $4$

Pembahasan

Untuk menganalisis fungsi $H(t) = A \cos(Bt) + C$, kita perlu menentukan tiga parameter berdasarkan data yang diberikan.

Amplitudo

Amplitudo $A$ adalah setengah dari selisih antara nilai maksimum dan minimum fungsi

Jadi, $|A| = 4$. Karena fungsi kosinus dimulai dari nilai maksimum, kita dapat mengambil $A = 4$ (positif).

Nilai Vertikal

Nilai vertikal $C$ adalah nilai tengah antara nilai maksimum dan minimum, atau rata-rata dari nilai maksimum dan minimum

Jadi, $C = 6$

Periode dan Nilai B

Periode fungsi $\cos(Bt)$ adalah $\frac{2\pi}{B}$

Diketahui periode pasang surut adalah $12$ jam

Karena periode pasang surut biasanya positif, kita ambil $B = \frac{\pi}{6}$ (positif).

Dengan demikian, nilai-nilai parameter adalah $A = 4$, $B = \frac{\pi}{6}$, dan $C = 6$

Pilihan jawaban yang paling tepat adalah $A = 4, B = \frac{\pi}{6}, C = 6$

Pembahasan

Misalkan harga $1$ buku $= x$, $1$ pulpen $= y$, $1$ pensil $= z$

Didapatkan persamaan berikut

Dari persamaan $\text{(iii)}$, kita dapatkan

Substitusi $z$ ke persamaan $\text{(ii)}$

Substitusi $z$ dan $y$ ke persamaan $\text{(i)}$

Dari $x = 3.500$, kita dapat mencari $z$

Dina membeli $2$ pulpen dan $2$ pensil, maka yang harus dibayar adalah

Jadi, Dina harus membayar $\text{Rp}10.000$

Pembahasan

Misalkan kapsul $= x$, tablet $= y$, dengan $x \geq 0$ dan $y \geq 0$

Didapatkan model matematika

Mencari Titik Potong

Jika kedua persamaan garis dieliminasi, didapatkan titik potong

Grafik Daerah Penyelesaian

Dari pertidaksamaan didapatkan grafik

Menentukan Biaya Minimum

Fungsi biaya minimum untuk kapsul dan tablet adalah $f(x, y) = 1.000x + 800y$

Nilai dari setiap titik sudut

Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan kalsium dan zat besi balita adalah $\text{Rp}12.000$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = 2x^2 - 3$ dan $g(x) = 3x - 1$

Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah $f(g(x))$

Substitusi fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$

Ekspansi $(3x - 1)^2$ menggunakan rumus $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Jadi, fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = 18x^2 - 12x - 1$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 4}$ dengan $x \neq 4$ dan $g(x) = 3x + 8$

Menentukan Fungsi Komposisi

Hitung fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Menentukan Fungsi Invers

Misalkan $y = \frac{6x + 11}{3x + 4}$, kemudian selesaikan untuk $x$ dalam bentuk $y$

Ganti $y$ dengan $x$ untuk mendapatkan fungsi invers

Syarat $3x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

Jadi, invers dari $(f \circ g)(x)$ adalah $\frac{11 - 4x}{3x - 6}$ dengan $x \neq 2$

Pembahasan

Matriks Transformasi Skala

Matriks skala $(T_1)$ dengan faktor $2$ pada sumbu-x dan $0.5$ pada sumbu-y

Matriks Transformasi Geser

Matriks geser (shear) sejajar sumbu-x dengan faktor $1$ $(T_2)$

Matriks Komposisi

Matriks komposisi $(T_2 \circ T_1)$ adalah $M_2 \times M_1$

Menghitung Luas Awal

Persegi dengan sisi $2$ satuan memiliki luas awal

Menentukan Faktor Skala Perubahan Luas

Determinan matriks komposisi $M_2 \cdot M_1$ memberikan faktor skala perubahan luas

Luas Setelah Transformasi

Luas setelah transformasi dihitung dengan

Meskipun terjadi transformasi skala dan geser, luas persegi tetap sama karena determinan matriks komposisi adalah $1$

Jadi, luas persegi setelah kedua transformasi adalah $4$ satuan luas

Pembahasan

Diketahui $P(x) = x^3 - ax^2 - bx + 12$ dengan faktor $(x - 1)$ dan $(x + 3)$

Mencari Nilai a dan b

Jika faktornya $x = 1$, maka $P(1) = 0$

Jika faktornya $x = -3$, maka $P(-3) = 0$

Eliminasi persamaan $\text{(i)}$ dan $\text{(ii)}$

Substitusi nilai $a$

Artinya $P(x) = x^3 - 2x^2 - 11x + 12$

Mencari Faktor Lain dengan Horner

Faktor lain $P(x)$ dicari menggunakan Horner dengan $(x - 1) \Rightarrow x = 1$

Hasil pembagian $S(x) = x^2 - x - 12$

Faktorkan $x^2 - x - 12$

Maka faktor selain $(x - 1)$ dan $(x + 3)$ adalah $(x - 4)$

Menentukan Jumlah Akar-Akar

Karena $x_1 < x_2 < x_3$, maka

Jadi, nilai $x_1 + x_2 + x_3 = 2$

Pembahasan

Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & y \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} x & 5 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$, dan $C = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ y & 9 \end{pmatrix}$

Penjumlahan Matriks

Hitung $A + B + C$

Jumlahkan elemen-elemen yang seposisi

Sederhanakan

Mencari Nilai x dan y

Dari elemen baris pertama, kolom pertama

Dari elemen baris pertama, kolom kedua

Menghitung Hasil Akhir

Substitusi nilai $x = 2$ dan $y = 4$

Jadi, nilai $x + 2xy + y = 22$