Soal 22

Semua nilai $x$ yang memenuhi $|x| + |x - 2| > 3$ adalah....

$x < -1$ atau $x > \frac{5}{2}$

$x < -\frac{1}{2}$ atau $x > 3$

$x < -\frac{1}{2}$ atau $x > \frac{5}{2}$

$x < -1$ atau $x > 3$

$x < -\frac{3}{2}$ atau $x > \frac{5}{2}$

Definisi dari mutlak $|x - 2|$ adalah

|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x - 2), & \text{untuk } x < 2 \end{cases}

Untuk memudahkan dalam menemukan penyelesaiannya, kita membagi menjadi 3 daerah berdasarkan definisi dari nilai mutlak di atas

Pembagian Daerah

Tiga daerah berdasarkan definisi nilai mutlak:

x < 0

0 \leq x < 2

, dan

x \geq 2

\text{Daerah I}

\text{Daerah II}

\text{Daerah III}

0

2

\text{Daerah I:}

(x < 0)

|x| = -x

|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2

|x| + |x - 2| > 3

-x + (-x + 2) > 3

-2x + 2 > 3

-2x > 1

x < -\frac{1}{2}

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\{x < 0\} \cap \{x < -\frac{1}{2}\} = \{x < -\frac{1}{2}\}$ .

\text{Daerah II:}

(0 \leq x < 2)

|x| = x

|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2

|x| + |x - 2| > 3

x + (-x + 2) > 3

2 > 3

Artinya tidak ada nilai $x$ yang memenuhi daerah II.

\text{Daerah III:}

(x \geq 2)

|x| = x

|x - 2| = x - 2

|x| + |x - 2| > 3

x + (x - 2) > 3

2x > 5

x > \frac{5}{2}

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\{x \geq 2\} \cap \{x > \frac{5}{2}\} = \{x > \frac{5}{2}\}$ .

Maka solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga daerah

\{x < -\frac{1}{2}\} \cup \{x > \frac{5}{2}\}

Jadi solusinya adalah $\{x < -\frac{1}{2} \cup x > \frac{5}{2}\}$ .

Command Palette