Soal 28

Berapakah nilai $a$ sehingga solusi $(x, y)$ dari sistem persamaan

-2x + y = a^2 - 1

3x + 2y = 2a^2 + 7a + 5

memenuhi $x\sqrt{y} + 3 > 0$ ?

$a > -1 + \sqrt{3}$

$a < -1 - \sqrt{3}$

$a < 1 - \sqrt{3}$

$a > 1 + \sqrt{3}$

$a < -\sqrt{3}$

Pembahasan

Sistem persamaan linear ini dapat ditulis dalam bentuk matriks $AX = B$ , dimana

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a^2 - 1 \\ 2a^2 + 7a + 5 \end{pmatrix}

Aturan Cramer dapat digunakan karena determinan matriks koefisien $\det(A) = -4 - 3 = -7 \neq 0$ (determinan tidak nol). Aturan Cramer menyatakan bahwa untuk sistem $AX = B$ dengan $\det(A) \neq 0$ , solusinya adalah

x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}

dimana $A_x$ adalah matriks $A$ dengan kolom pertama diganti $B$ , dan $A_y$ adalah matriks $A$ dengan kolom kedua diganti $B$ .

Dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh

x = \frac{\begin{vmatrix} a^2 - 1 & 1 \\ 2a^2 + 7a + 5 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{2(a^2 - 1) - (2a^2 + 7a + 5)}{-4 - 3} = \frac{-7a - 7}{-7} = a + 1

y = \frac{\begin{vmatrix} -2 & a^2 - 1 \\ 3 & 2a^2 + 7a + 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{-2(2a^2 + 7a + 5) - 3(a^2 - 1)}{-7} = \frac{-7a^2 - 14a - 7}{-7} = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2

Selanjutnya nilai $x$ dan $y$ disubstitusi ke $x\sqrt{y} + 3 > 0$ sehingga diperoleh

x\sqrt{y} + 3 > 0

(a + 1)\sqrt{(a + 1)^2} + 3 > 0

Untuk menyederhanakan $\sqrt{(a + 1)^2}$ , perlu diperhatikan bahwa $\sqrt{(a + 1)^2} = |a + 1|$ . Agar $\sqrt{y}$ terdefinisi, haruslah $y \geq 0$ , yaitu $(a + 1)^2 \geq 0$ yang selalu benar.

Pilih $a < -1$ sehingga bentuk $\sqrt{(a + 1)^2} = -(a + 1)$ , sehingga diperoleh

(a + 1)[-(a + 1)] + 3 > 0

-(a + 1)^2 + 3 > 0

(a + 1)^2 < 3

a^2 + 2a + 1 < 3

a^2 + 2a - 2 < 0

Mencari nilai $a$ bisa menggunakan rumus ABC. Persamaan kuadrat $a^2 + 2a - 2 = 0$ mempunyai akar-akar

a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}

a_{1,2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2}

a_{1,2} = -1 \pm \sqrt{3}

Untuk pertidaksamaan $a^2 + 2a - 2 < 0$ , karena koefisien $a^2$ positif, maka pertidaksamaan terpenuhi untuk nilai $a$ di antara kedua akarnya, yaitu $-1 - \sqrt{3} < a < -1 + \sqrt{3}$ .

Karena kita memilih $a < -1$ , maka irisannya adalah $-1 - \sqrt{3} < a < -1$ .

Namun, karena $a = -1 - \sqrt{3}$ adalah akar dari persamaan $a^2 + 2a - 2 = 0$ , dan untuk $a < -1$ kita memerlukan $(a + 1)^2 < 3$ , maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a < -1 - \sqrt{3}$ .

Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a < -1 - \sqrt{3}$ .

Command Palette

Nomor 28

Pembahasan