Soal 37

Nilai-nilai $x$ , untuk $0° \leq x \leq 360°$ yang memenuhi $\sin x + \sin 2x > \sin 3x$ adalah....

$0° < x < 120°, 180° < x < 240°$

$0° < x < 150°, 180° < x < 270°$

$120° < x < 180°, 240° < x < 360°$

$150° < x < 180°, 270° < x < 360°$

$0° < x < 135°, 180° < x < 270°$

Pembahasan

Diketahui bentuk pertidaksamaannya

\sin x + \sin 2x > \sin 3x

Kedua ruas dikurang $\sin x$

\sin 2x > \sin 3x - \sin x

Gunakan identitas trigonometri $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ dan $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$

2 \sin x \cos x > 2 \cos \frac{3x + x}{2} \sin \frac{3x - x}{2}

2 \sin x \cos x > 2 \cos 2x \sin x

Kedua ruas dibagi $2$ dan gunakan identitas $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$

\sin x \cos x > \cos 2x \sin x

\sin x \cos x > (2 \cos^2 x - 1) \sin x

\sin x \cos x - (2 \cos^2 x - 1) \sin x > 0

\sin x (\cos x - 2 \cos^2 x + 1) > 0

\sin x (2 \cos^2 x - \cos x - 1) < 0

Faktorkan $2 \cos^2 x - \cos x - 1 = (2 \cos x + 1)(\cos x - 1)$

\sin x (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) < 0

Dengan begitu $x$ pembuat nolnya

\sin x = 0 \Rightarrow x = 0°, 180°, 360°

2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 120°, 240°

\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 0°, 360°

Titik-titik kritisnya adalah $x = 0°$ , $x = 120°$ , $x = 180°$ , $x = 240°$ , dan $x = 360°$ .

Garis bilangannya seperti berikut

Garis Bilangan

Titik-titik kritis:

0°

120°

180°

240°

, dan

360°

\text{Interval 1}

\text{Interval 2}

\text{Interval 3}

\text{Interval 4}

0°

120°

120°

180°

180°

240°

240°

360°

Dengan menguji tanda pada setiap interval, diperoleh bahwa pertidaksamaan $\sin x (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) < 0$ terpenuhi untuk $0° < x < 120°$ dan $180° < x < 240°$ .

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $0° < x < 120°, 180° < x < 240°$ .

Command Palette

Nomor 37

Pembahasan