Matriks Positif Definit

Definisi melalui Bentuk Kuadrat

Untuk matriks simetris real $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ , perhatikan bentuk kuadrat

q(x)=x^TAx

Versi kompleks menggunakan matriks Hermitian dan $q(x)=x^HAx$ . Tanda skalar ini mengklasifikasikan matriks:

Kelas	Syarat tanda
Positif definit	$x^TAx>0$
Positif semidefinit	$x^TAx\ge0$
Negatif definit	$x^TAx<0$
Negatif semidefinit	$x^TAx\le0$
Indefinit	bentuk kuadrat menghasilkan nilai positif dan negatif

Untuk empat kelas definit atau semidefinit, pertidaksamaan harus berlaku bagi $setiap vektor tak nol$ . Indefinit berarti ada vektor yang menghasilkan nilai positif dan ada vektor lain yang menghasilkan nilai negatif.

$Kesimetrian$ merupakan bagian dari definisi yang lazim. Untuk matriks real tak simetris,

x^TAx=x^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)x

Identitas ini menunjukkan bahwa bentuk kuadrat hanya bergantung pada bagian simetris matriks $A$ .

Kriteria Spektral

Teorema spektral menulis matriks simetris real sebagai

A=Q\Lambda Q^T

Dalam dekomposisi ini, $Q$ ortogonal dan $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ diagonal real. Substitusi $y=Q^Tx$ memberikan

x^TAx=\sum_{i=1}^n\lambda_i y_i^2

Karena itu:

$A$ positif definit tepat ketika setiap $\lambda_i>0$ .
$A$ positif semidefinit tepat ketika setiap $\lambda_i\ge0$ .
$A$ indefinit tepat ketika memiliki nilai eigen positif dan negatif.

Setiap entri diagonal matriks positif definit bernilai positif karena

a_{ii}=e_i^TAe_i>0

Sebuah matriks dapat memiliki entri diagonal positif tetapi tetap tidak positif definit karena $suku silang$ juga memengaruhi $x^TAx$ .

Geometri Elipsoid

Jika $A$ positif definit, maka

E=\{x\in\mathbb{R}^n:x^TAx=1\}

Himpunan $E$ adalah elipsoid yang berpusat di titik asal. Dalam koordinat vektor eigen, persamaan elipsoid menjadi

\sum_{i=1}^n\lambda_i y_i^2=1

Persamaan ini menunjukkan bahwa $sumbu utama elipsoid$ mengikuti arah vektor eigen dari $A$ . Panjang semisumbu ke- $i$ adalah $1/\sqrt{\lambda_i}$ . Nilai eigen yang lebih kecil menghasilkan semisumbu yang lebih panjang, sedangkan nilai eigen yang lebih besar menghasilkan semisumbu yang lebih pendek.

Untuk $A=\operatorname{diag}(1,1/4,1/9)$ , ketiga nilai eigen memberikan panjang semisumbu $1,2,3$ . Putar model untuk membandingkan ketiga arah. Kurva-kurva pada model adalah penampang elipsoid yang sama.

x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1

Nilai Eigen Menentukan Panjang Semisumbu

Penampang

x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} = 1

. Semisumbu pada arah x, y, z memiliki panjang 1, 2, 3.

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[-2; 2]$
$z$: $[-3; 3]$
Garis: 9

Uji Minor Utama

Misalkan $A_k$ adalah blok kiri atas berukuran $k\times k$ dari matriks simetris real atau Hermitian kompleks. Kriteria Sylvester menyatakan

Matriks $A$ definit positif jika dan hanya jika setiap determinan utama terdepannya positif:

\det(A_k)>0,\quad k=1,\ldots,n

Uji minor utama terdepan ini tidak dapat diperluas hanya dengan mengganti $>$ menjadi $\ge$ . Positif semidefinit mengharuskan $semua minor utama$ bernilai tak negatif. Memeriksa minor utama terdepan saja belum cukup.

Pemeriksaan Matriks Dua Kali Dua

Perhatikan

A=\begin{pmatrix}5&1\\1&4\end{pmatrix}

Minor utama terdepannya adalah

\det(A_1)=5>0

$Kedua minor utama terdepan bernilai positif$ , sehingga $A$ positif definit. Kedua nilai eigennya juga positif:

\begin{aligned} &\lambda_1=\frac{9+\sqrt5}{2}\approx5{,}61803, \\ &\lambda_2=\frac{9-\sqrt5}{2}\approx3{,}38197 \end{aligned}

Sekarang bandingkan dengan

B=\begin{pmatrix}1&5\\5&4\end{pmatrix}

Walaupun kedua entri diagonalnya positif,

\det(B)=4-25=-21<0

Determinan negatif menunjukkan bahwa kedua nilai eigen $B$ berlainan tanda. Karena itu, $B$ bersifat indefinit.

Karakterisasi Cholesky

Matriks simetris real $positif definit tepat ketika memiliki faktorisasi Cholesky$ :

A=LL^T

Dalam faktorisasi ini, $L$ adalah matriks segitiga bawah dengan entri diagonal yang semuanya positif. Maka

\begin{aligned} &x^TAx=x^TLL^Tx=\|L^Tx\|_2^2>0 \\ &(x\ne0) \end{aligned}

Untuk setiap matriks positif definit, algoritma Cholesky akan selesai tanpa menemukan pivot nol atau negatif. Untuk matriks simetris dalam aritmetika eksak, algoritma Cholesky berhasil tepat ketika matriks tersebut positif definit. Setelah memperoleh $A=LL^T$ , selesaikan $Ly=b$ lalu $L^Tx=y$ .

Hasil Kali dengan Baris dan Kolom yang Ditukar

Untuk setiap matriks real $M\in\mathbb{R}^{m\times n}$ ,

x^TM^TMx=\|Mx\|_2^2\ge0

Persamaan ini menunjukkan bahwa $M^TM$ selalu positif semidefinit. Matriks $M^TM$ positif definit tepat ketika

\begin{aligned} &\ker(M)=\{0\} \\ &\Longleftrightarrow \\ &\operatorname{rank}(M)=n \end{aligned}

Kita tidak perlu menetapkan $m\ge n$ untuk menyimpulkan bahwa $M^{\mathsf T}M$ positif semidefinit. Syarat $m\ge n$ baru mengikuti ketika $M$ memiliki peringkat kolom penuh.

Secara lebih umum, matriks Gram $G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle$ positif semidefinit dan menjadi positif definit tepat ketika vektor-vektor $v_i$ $saling bebas linear$ .

Peminimum Unik pada Fungsi Kuadrat

Perhatikan fungsi objektif kuadrat

F(x)=\frac12x^TAx-b^Tx+c

Gradien dan Hessiannya adalah

\nabla F(x)=Ax-b

Jika $A$ positif definit, $F$ bersifat $konveks ketat$ dan memiliki peminimum unik

x_*=A^{-1}b

Kesulitan komputasi juga bergantung pada bilangan kondisi, yaitu rasio nilai eigen terbesar dan terkecil:

\kappa_2(A)=\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)}

Bilangan kondisi yang besar menghasilkan kontur fungsi objektif yang memanjang. Algoritma numerik kemudian dapat berjalan lambat atau peka terhadap galat pembulatan.

Pergeseran Spektral dan Invers

Untuk matriks Hermitian $A$ , nilai eigen $A-tI$ adalah $\lambda_i(A)-t$ . Karena itu,

A-tI\succ0\quad\Longleftrightarrow\quad t<\lambda_{\min}(A)

Jika $A\succ0$ , maka $A^{-1}\succ0$ juga berlaku, dengan nilai eigen $1/\lambda_i(A)$ . Dalam algoritma numerik, $selesaikan sistem linear secara langsung$ karena membentuk invers eksplisit memerlukan lebih banyak operasi dan dapat memperbesar galat pembulatan.