Matriks Ortogonal dan Uniter

Ciri Matriks Ortogonal dan Uniter

Matriks persegi real $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$ disebut ortogonal ketika

Q^TQ=QQ^T=I

Matriks persegi kompleks $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ disebut uniter ketika

U^HU=UU^H=I

Di sini, $U^H=\overline{U}^{T}$ adalah transpos konjugat. Matriks ortogonal real merupakan $matriks uniter dengan entri real$ .

Persamaan definisi tersebut setara dengan pernyataan bahwa kolom-kolomnya membentuk basis ortonormal. Baris-barisnya juga ortonormal.

Besaran yang Dipertahankan Transformasi Ortogonal dan Uniter

Untuk vektor real $x,y$ dan matriks ortogonal $Q$ ,

\begin{aligned} \langle Qx,Qy\rangle &=(Qx)^T(Qy) \\ &=x^TQ^TQy \\ &=x^Ty \end{aligned}

Pernyataan yang sama berlaku pada $\mathbb{C}$ dengan hasil kali dalam konjugat dan $U^H$ . Jadi, transformasi ortogonal dan uniter $mempertahankan panjang, jarak, sudut, dan ortogonalitas$ .

Semua nilai singularnya sama dengan $1$ , sehingga

\|Q\|_2=1,\qquad\kappa_2(Q)=1

Perkalian dengan matriks tersebut tidak memperbesar galat relatif dalam norma Euklides. Inilah alasan faktorisasi $\mathrm{QR}$ menggunakan reflektor Householder dan rotasi Givens.

Determinan dan Orientasi

Untuk matriks uniter,

\begin{aligned} 1 &=\det(U^HU) \\ &=\overline{\det U}\det U \\ &=|\det U|^2 \end{aligned}

Untuk matriks ortogonal real, determinannya real, sehingga

\det Q\in\{-1,1\}

Kasus $\det Q=1$ $mempertahankan orientasi$ . Kasus $\det Q=-1$ membalik orientasi dan mengandung komponen refleksi.

Nilai Eigen dan Struktur Spektral

Jika $Uv=\lambda v$ dengan $v\ne0$ , maka

\|v\|_2=\|Uv\|_2=\|\lambda v\|_2=|\lambda|\|v\|_2

Jadi, setiap nilai eigen berada pada $lingkaran satuan kompleks$ . Nilai eigen tak real dari matriks ortogonal real muncul sebagai pasangan konjugat. Matriks uniter bersifat normal, sehingga teorema spektral kompleks memberikan

U=V\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n})V^H

Dalam dekomposisi ini, $V$ adalah matriks uniter. Untuk matriks dengan entri bilangan real, matriks ortogonal dapat direduksi menjadi blok-blok yang terdiri atas $1$ , $-1$ , dan rotasi bidang.

Contoh Rotasi

Rotasi bidang berlawanan arah jarum jam sebesar $\alpha$ adalah

R(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

Kolom-kolomnya ortonormal, dan perkalian langsung memberikan

R(\alpha)^TR(\alpha)=I

Polinomial karakteristiknya adalah

\chi_R(t)=t^2-2t\cos\alpha+1

Kecuali $\alpha$ merupakan kelipatan $\pi$ , rotasi ini $tidak memiliki vektor eigen real$ . Pada rotasi bidang sejati, tidak ada arah real tak nol yang tetap atau hanya berubah tanda.

Contoh Refleksi

Untuk vektor satuan $u\in\mathbb{R}^n$ , matriks Householder

H=I-2uu^T

Matriks $H$ merefleksikan vektor terhadap $hiperbidang yang tegak lurus$ pada $u$ . Sifat ortogonalnya dapat diperiksa melalui

H^T=H

Dari kedua identitas di atas, kita memperoleh $H^TH=I$ . Pada arah $u$ , matriks $H$ memiliki nilai eigen $-1$ . Setiap vektor yang tegak lurus terhadap $u$ memiliki nilai eigen $1$ . Karena itu, $\det H=-1$ .

Pemeriksaan Ekuivalen dan Konsekuensi

Pernyataan	Kasus ortogonal	Kasus uniter
Invers	$Q^{-1}=Q^T$	$U^{-1}=U^H$
Kolom	basis ortonormal real	basis ortonormal kompleks
Determinan	$\pm1$	bermodulus $1$
Nilai eigen	lingkaran satuan, berpasangan konjugat jika tak real	lingkaran satuan
Nilai singular	semuanya $1$	semuanya $1$
Bilangan kondisi norma dua	$1$	$1$

$Hasil kali dan invers$ tetap berada dalam kelas yang sama:

(Q_1Q_2)^T(Q_1Q_2)=I

Karena matriks ortogonal dan uniter mempertahankan norma, transformasi ortogonal dalam algoritma $\mathrm{QR}$ dan perhitungan kuadrat terkecil tidak mengubah panjang vektor. Transformasi Fourier, mekanika kuantum, dan pemrosesan geometri juga memakai sifat ini untuk mempertahankan produk dalam dan norma.