For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Dalam aljabar linear, kita sering tertarik dengan vektor-vektor khusus yang memiliki sifat istimewa ketika dikalikan dengan matriks. Bayangkan vektor yang hanya "diregangkan" atau "dipendekkan" oleh matriks, tetapi arahnya tidak berubah.
Misalkan adalah matriks persegi. Sebuah vektor eigen untuk adalah vektor tak nol yang memenuhi:
Persamaan ini menunjukkan bahwa ketika matriks mengoperasikan vektor , hasilnya adalah kelipatan skalar dari vektor yang sama.
Menurut definisi, nilai eigen dapat sama dengan , tetapi vektor eigen selalu tak nol.
Vektor eigen memiliki sifat-sifat fundamental yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematik.
Perkalian Skalar: Misalkan dan dengan adalah vektor eigen dari untuk nilai eigen . Maka semua kelipatan dengan juga merupakan vektor eigen dari untuk nilai eigen yang sama .
Mengapa hal ini benar?
Sifat ini menunjukkan bahwa jika kita menemukan satu vektor eigen, maka semua kelipatan tak nolnya juga adalah vektor eigen untuk nilai eigen yang sama.
Mari kita lihat beberapa contoh konkret untuk memahami konsep ini lebih baik:
Untuk matriks :
adalah vektor eigen untuk nilai eigen , karena
adalah vektor eigen untuk nilai eigen , karena
Untuk matriks :
adalah vektor eigen untuk nilai eigen , karena
adalah vektor eigen untuk nilai eigen , karena
Salah satu hasil penting dalam teori vektor eigen adalah bahwa vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda selalu bebas linear.
Ada hasil yang sangat penting dalam kebebasan linear vektor eigen. Misalkan dan adalah nilai-nilai eigen yang berbeda berpasangan dari , yaitu untuk dengan . Maka vektor-vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linear.
Teorema ini dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika dan memiliki konsekuensi penting bahwa matriks memiliki paling banyak nilai eigen yang berbeda.
Untuk setiap nilai eigen, kita dapat mendefinisikan ruang vektor yang terdiri dari semua vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut.
Misalkan dan . Himpunan:
disebut ruang eigen dari untuk nilai eigen . Dimensi dari :
disebut multiplisitas geometrik dari nilai eigen dari .
Ruang eigen memiliki beberapa sifat penting:
Vektor nol bukan vektor eigen: Vektor nol bukan vektor eigen, tetapi merupakan elemen dari
Himpunan vektor eigen: adalah himpunan semua vektor eigen dari yang bersesuaian dengan
Kondisi nilai eigen: adalah nilai eigen dari jika dan hanya jika
Batasan dimensi:
Hubungan dengan kernel:
Ruang eigen umum:
Perpotongan ruang eigen: Jika , maka
Nilai eigen memiliki hubungan erat dengan sifat invertibilitas matriks.
Sekarang, mari kita lihat hubungan menarik antara invertibilitas dan nilai eigen. Matriks dapat diinversi jika dan hanya jika semua nilai eigen dari memenuhi .
Mengapa hal ini benar? dapat diinversi jika dan hanya jika , yang berarti , sehingga bukan nilai eigen dari .
Jika matriks dapat diinversi dan adalah vektor eigen dari untuk nilai eigen , maka juga merupakan vektor eigen dari untuk nilai eigen .
Mengapa hal ini benar? Dari , dengan mengalikan dan , diperoleh .
Mari kita lihat berbagai cara untuk mengetahui apakah matriks dapat diinversi. Untuk matriks persegi , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:
Teorema ini memberikan berbagai cara equivalent untuk memeriksa apakah suatu matriks dapat diinversi, dengan nilai eigen menjadi salah satu kriteria yang sangat berguna.
