Nilai Eigen Vektor Eigen dan Ruang Eigen

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Sebagian besar vektor berubah panjang sekaligus arah ketika ditransformasikan oleh matriks. Pada vektor eigen, hasil transformasi tetap berada pada garis yang sama. Untuk nilai eigen real, nilai positif mempertahankan orientasi, nilai negatif membalikkannya, dan nilai nol memetakannya ke vektor nol.

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks persegi. Sebuah $vektor eigen$ $v \in \mathbb{K}^n$ untuk $nilai eigen$ $\lambda \in \mathbb{K}$ adalah vektor tak nol $v \neq 0$ yang memenuhi:

A \cdot v = \lambda \cdot v

Untuk nilai eigen real, perkalian $Av$ mengubah skala atau orientasi vektor pada garis real yang sama. Nilai eigen kompleks menyatakan perkalian dengan skalar kompleks pada subruang kompleks berdimensi satu.

Menurut definisi, nilai eigen dapat sama dengan $0$ , tetapi $vektor eigen selalu tak nol$ .

Sifat Dasar Vektor Eigen

$Perkalian Skalar$ : Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $v \in \mathbb{K}^n$ dengan $v \neq 0$ adalah vektor eigen dari $A$ untuk nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$ . Maka semua kelipatan $t \cdot v$ dengan $t \neq 0$ juga merupakan vektor eigen dari $A$ untuk nilai eigen yang sama $\lambda$ .

Kesamaan berikut berasal dari sifat linear:

\begin{aligned} A \cdot (t \cdot v) &= t \cdot (A \cdot v) \\ &= t \cdot (\lambda \cdot v) \\ &= \lambda \cdot (t \cdot v) \end{aligned}

Karena $t\neq0$ , vektor $tv$ tetap tak nol dan memenuhi definisi vektor eigen untuk nilai eigen yang sama.

Contoh Perhitungan Vektor Eigen

Kedua contoh di sini $memeriksa persamaan$ $Av=\lambda v$ secara langsung, satu dengan matriks diagonal dan satu dengan matriks simetris. Keduanya menunjukkan dari mana nilai eigen berasal dan bagaimana vektor eigennya ditemukan, yaitu langkah yang sama untuk matriks yang bukan keduanya.

Matriks Diagonal

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

Vektor $v_1$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_1 = 1$ . $Perkalian dengan$ $A$ membuktikannya:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Vektor $v_2$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_2 = 2$ . $Perkalian dengan$ $A$ membuktikannya:

v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Vektor di luar kedua sumbu koordinat tersebut umumnya $berubah arah$ . Untuk matriks diagonal tadi:

A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad\text{untuk setiap }\lambda

Matriks Simetris

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

Vektor $v_1$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_1 = 2$ . $Perkalian$ dengan $A$ membuktikannya:

v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Vektor $v_2$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_2 = 4$ . Perkalian dengan $A$ membuktikannya:

v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Kebebasan Linear Vektor Eigen

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ adalah nilai eigen $A$ yang $berbeda secara berpasangan$ , sehingga $\lambda_i \neq \lambda_j$ setiap kali $i \neq j$ . Vektor eigen yang bersesuaian $v_1, \ldots, v_k \in \mathbb{K}^n$ bersifat bebas linear.

Dengan induksi matematika, teorema ini menunjukkan bahwa matriks $n \times n$ memiliki paling banyak $n$ nilai eigen yang berbeda.

Ruang Eigen dan Multiplisitas Geometrik

Untuk setiap nilai eigen, kita mendefinisikan ruang vektor yang memuat semua solusi $Av=\lambda v$ , termasuk vektor nol.

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda \in \mathbb{K}$ . Kita menyebut himpunan berikut sebagai $ruang eigen$ matriks $A$ untuk nilai eigen $\lambda$ .

E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = \lambda \cdot v\}

Dimensi ruang eigen disebut $multiplisitas geometrik$ . Notasinya adalah

\dim E_A(\lambda)

Nilai $\dim E_A(\lambda)$ menyatakan multiplisitas geometrik nilai eigen $\lambda$ pada matriks $A$ .

Sifat Ruang Eigen

Ketujuh sifat berikut semuanya mengikuti definisi $E_A(\lambda)$ di atas. Coba kamu periksa satu per satu.

$Vektor nol bukan vektor eigen$ : Vektor nol bukan vektor eigen, tetapi merupakan anggota $E_A(\lambda)$ .
$Himpunan vektor eigen$ : $E_A(\lambda) \setminus \{0\}$ adalah himpunan semua vektor eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan $\lambda$ .
$Kondisi nilai eigen$ : $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$ jika dan hanya jika $E_A(\lambda) \neq \{0\}$ .
$Batas dimensi$ : $0 \leq \dim E_A(\lambda) \leq n$ . Jika $\lambda$ merupakan nilai eigen, batas bawahnya menjadi $1$ .
$Hubungan dengan kernel$ : $E_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A$ .
$Ruang eigen umum$ : $E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)$ .
$Perpotongan ruang eigen$ : Jika $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , maka $E_A(\lambda_1) \cap E_A(\lambda_2) = \{0\}$ .

Hubungan dengan Invertibilitas

Matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat diinversi jika dan hanya jika $nol bukan salah satu$ nilai eigennya.

Memang, $A$ dapat diinversi jika dan hanya jika $\operatorname{rank} A = n$ , yang ekuivalen dengan $E_A(0) = \ker A = \{0\}$ . Nilai eigen nol berarti ada vektor tak nol yang dipetakan ke nol, sehingga transformasi tidak dapat dibalik.

Nilai Eigen Matriks Invers

Jika matriks $A$ dapat diinversi dan $v \neq 0$ adalah vektor eigen dari $A$ untuk nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$ , maka $v$ juga merupakan vektor eigen dari $A^{-1}$ untuk nilai eigen $\frac{1}{\lambda}$ .

$Menerapkan$ $A^{-1}$ pada $A \cdot v = \lambda \cdot v$ menghasilkan:

v = \lambda A^{-1}v \quad \Longrightarrow \quad A^{-1}v = \frac{1}{\lambda}v

Kriteria Invertibilitas

Untuk matriks persegi $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , pernyataan berikut saling ekuivalen:

$A$ dapat diinversi
Terdapat matriks $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dengan $A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$
$A$ memiliki peringkat penuh, $\operatorname{rank} A = n$ , yang ekuivalen dengan $\ker A = \{0\}$
Kolom-kolom dari $A$ bebas linear
Baris-baris dari $A$ bebas linear
$\det A \neq 0$
$0$ bukan nilai eigen dari $A$

$Salah satu kondisi tersebut$ sudah cukup untuk membuktikan bahwa matriks dapat diinversi.

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

A \cdot v = \lambda \cdot v

Menurut definisi, nilai eigen dapat sama dengan $0$ , tetapi $vektor eigen selalu tak nol$ .

Sifat Dasar Vektor Eigen

Kesamaan berikut berasal dari sifat linear:

\begin{aligned} A \cdot (t \cdot v) &= t \cdot (A \cdot v) \\ &= t \cdot (\lambda \cdot v) \\ &= \lambda \cdot (t \cdot v) \end{aligned}

Karena $t\neq0$ , vektor $tv$ tetap tak nol dan memenuhi definisi vektor eigen untuk nilai eigen yang sama.

Contoh Perhitungan Vektor Eigen

Matriks Diagonal

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

Vektor $v_1$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_1 = 1$ . $Perkalian dengan$ $A$ membuktikannya:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Vektor $v_2$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_2 = 2$ . $Perkalian dengan$ $A$ membuktikannya:

v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Vektor di luar kedua sumbu koordinat tersebut umumnya $berubah arah$ . Untuk matriks diagonal tadi:

A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad\text{untuk setiap }\lambda

Matriks Simetris

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

Vektor $v_1$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_1 = 2$ . $Perkalian$ dengan $A$ membuktikannya:

v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Vektor $v_2$ berikut adalah vektor eigen untuk $\lambda_2 = 4$ . Perkalian dengan $A$ membuktikannya:

v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Kebebasan Linear Vektor Eigen

Dengan induksi matematika, teorema ini menunjukkan bahwa matriks $n \times n$ memiliki paling banyak $n$ nilai eigen yang berbeda.

Ruang Eigen dan Multiplisitas Geometrik

Untuk setiap nilai eigen, kita mendefinisikan ruang vektor yang memuat semua solusi $Av=\lambda v$ , termasuk vektor nol.

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda \in \mathbb{K}$ . Kita menyebut himpunan berikut sebagai $ruang eigen$ matriks $A$ untuk nilai eigen $\lambda$ .

E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = \lambda \cdot v\}

Dimensi ruang eigen disebut $multiplisitas geometrik$ . Notasinya adalah

\dim E_A(\lambda)

Nilai $\dim E_A(\lambda)$ menyatakan multiplisitas geometrik nilai eigen $\lambda$ pada matriks $A$ .

Sifat Ruang Eigen

Ketujuh sifat berikut semuanya mengikuti definisi $E_A(\lambda)$ di atas. Coba kamu periksa satu per satu.

$Vektor nol bukan vektor eigen$ : Vektor nol bukan vektor eigen, tetapi merupakan anggota $E_A(\lambda)$ .
$Himpunan vektor eigen$ : $E_A(\lambda) \setminus \{0\}$ adalah himpunan semua vektor eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan $\lambda$ .
$Kondisi nilai eigen$ : $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$ jika dan hanya jika $E_A(\lambda) \neq \{0\}$ .
$Batas dimensi$ : $0 \leq \dim E_A(\lambda) \leq n$ . Jika $\lambda$ merupakan nilai eigen, batas bawahnya menjadi $1$ .
$Hubungan dengan kernel$ : $E_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A$ .
$Ruang eigen umum$ : $E_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)$ .
$Perpotongan ruang eigen$ : Jika $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , maka $E_A(\lambda_1) \cap E_A(\lambda_2) = \{0\}$ .

Hubungan dengan Invertibilitas

Matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat diinversi jika dan hanya jika $nol bukan salah satu$ nilai eigennya.

Nilai Eigen Matriks Invers

$Menerapkan$ $A^{-1}$ pada $A \cdot v = \lambda \cdot v$ menghasilkan:

v = \lambda A^{-1}v \quad \Longrightarrow \quad A^{-1}v = \frac{1}{\lambda}v

Kriteria Invertibilitas

Untuk matriks persegi $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , pernyataan berikut saling ekuivalen:

$A$ dapat diinversi
Terdapat matriks $A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dengan $A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A$
$A$ memiliki peringkat penuh, $\operatorname{rank} A = n$ , yang ekuivalen dengan $\ker A = \{0\}$
Kolom-kolom dari $A$ bebas linear
Baris-baris dari $A$ bebas linear
$\det A \neq 0$
$0$ bukan nilai eigen dari $A$

$Salah satu kondisi tersebut$ sudah cukup untuk membuktikan bahwa matriks dapat diinversi.