Nilai Eigen dari Matriks Diagonal dan Segitiga

Matriks Diagonal dan Sifat Khususnya

Untuk matriks diagonal dan segitiga, setiap nilai eigen dapat $dibaca langsung dari diagonal utama$ beserta multiplisitas aljabarnya. Matriksnya dapat memiliki salah satu bentuk berikut:

Tiga bentuk berikut masing-masing menunjukkan matriks diagonal, segitiga atas, dan segitiga bawah $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ .

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

Pada ketiga bentuk tersebut, nilai eigen matriks adalah entri diagonal utama:

\lambda_1 = a_{11}, \ldots, \lambda_n = a_{nn}

Mengapa hal ini benar? Karena $\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ dengan akar-akar $a_{11}, \ldots, a_{nn}$ .

Dengan demikian, kita tidak memerlukan ekspansi determinan lengkap atau prosedur pencarian akar untuk matriks segitiga.

Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Matriks segitiga memiliki sifat yang sama dengan matriks diagonal. Baik matriks segitiga atas maupun segitiga bawah, nilai eigennya tetap merupakan entri diagonal utama.

Saat menghitung $\det(A - tI)$ , entri di atas atau di bawah diagonal utama tidak mengubah hasil determinan. Karena matriksnya berbentuk segitiga, determinannya sama dengan $perkalian semua entri diagonal$ .

Sebagai contoh, entri di luar diagonal dapat berubah sementara $nilai eigen tetap sama$ :

T=\begin{pmatrix}2&4&1\\0&2&3\\0&0&-1\end{pmatrix},\qquad \chi_T(t)=(2-t)^2(-1-t)

Jadi, 2 muncul dua kali dan −1 sekali. Hasil ini menentukan nilai eigen, tetapi belum membuktikan bahwa matriks dapat didiagonalisasi.

Menghitung Nilai Eigen Matriks yang Bukan Segitiga

Aturan diagonal hanya berlaku khusus untuk matriks segitiga. Begitu matriksnya tidak lagi segitiga, nilai eigennya tersembunyi di dalam polinomial karakteristik, sehingga pekerjaannya berpindah dari membaca entri diagonal menjadi $mencari akar$ .

Nilai Eigen Kompleks

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -1 \\ 1 & 1-t \end{pmatrix}

t^2-2t+2=0\iff(t-1)^2=-1\iff t=1\pm i

$Akar polinomial karakteristik ini$ adalah $\lambda_1 = 1 + i$ dan $\lambda_2 = 1 - i$ .

Nilai Eigen Nol

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -i \\ i & 1-t \end{pmatrix}

$Akar polinomial karakteristik ini$ adalah $\lambda_1 = 2$ dan $\lambda_2 = 0$ .

Faktorisasi Polinomial Karakteristik

Ketika $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ memiliki nilai eigen $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ yang $dihitung menurut multiplisitas aljabar$ , polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan sebagai:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)

Misalkan $\sigma(A)$ menyatakan himpunan berhingga semua nilai eigen berbeda dari $A$ . Jumlah multiplisitas aljabarnya adalah $n$ :

\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \mu_A(\lambda) = n

Dalam bentuk yang lebih kompak:

\chi_A(t) = \prod_{\lambda \in \sigma(A)} (\lambda - t)^{\mu_A(\lambda)}

Sifat ini berlaku secara alami untuk nilai eigen kompleks dari matriks dengan entri real. Nilai eigen bisa berupa bilangan real atau berpasangan kompleks konjugat.

Hubungan Determinan dan Jejak

Jika polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ terurai menjadi faktor linear di $\mathbb{K}$ , matriks $A$ memiliki $n$ nilai eigen $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ di medan tersebut, dengan multiplisitas dihitung. Jumlah dan hasil kalinya memenuhi:

\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i

$Determinan adalah hasil kali$ semua nilai eigen, sementara $jejak adalah jumlah$ semua nilai eigen.

Verifikasi dengan contoh sebelumnya:

Untuk matriks berikut dengan nilai eigen $\lambda_1 = 1 + i$ dan $\lambda_2 = 1 - i$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Kita dapat memeriksa nilai eigen melalui determinan dan jejak matriks:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \\ &= 2 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Untuk matriks berikut dengan nilai eigen $\lambda_1 = 2$ dan $\lambda_2 = 0$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Kita dapat memeriksa nilai eigen melalui determinan dan jejak matriks:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) \\ &= 0 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Kedua identitas ini berguna untuk memeriksa hasil, tetapi belum menentukan semua nilai eigen matriks umum ketika $n > 2$ . Salah satu akibat langsungnya adalah:

\det A = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \in \sigma(A)

Jadi, matriks persegi singular tepat ketika nol merupakan salah satu nilai eigennya.

Matriks Diagonal dan Sifat Khususnya

Untuk matriks diagonal dan segitiga, setiap nilai eigen dapat $dibaca langsung dari diagonal utama$ beserta multiplisitas aljabarnya. Matriksnya dapat memiliki salah satu bentuk berikut:

Tiga bentuk berikut masing-masing menunjukkan matriks diagonal, segitiga atas, dan segitiga bawah $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ .

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

Pada ketiga bentuk tersebut, nilai eigen matriks adalah entri diagonal utama:

\lambda_1 = a_{11}, \ldots, \lambda_n = a_{nn}

Mengapa hal ini benar? Karena $\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)$ dengan akar-akar $a_{11}, \ldots, a_{nn}$ .

Dengan demikian, kita tidak memerlukan ekspansi determinan lengkap atau prosedur pencarian akar untuk matriks segitiga.

Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Matriks segitiga memiliki sifat yang sama dengan matriks diagonal. Baik matriks segitiga atas maupun segitiga bawah, nilai eigennya tetap merupakan entri diagonal utama.

Sebagai contoh, entri di luar diagonal dapat berubah sementara $nilai eigen tetap sama$ :

T=\begin{pmatrix}2&4&1\\0&2&3\\0&0&-1\end{pmatrix},\qquad \chi_T(t)=(2-t)^2(-1-t)

Jadi, 2 muncul dua kali dan −1 sekali. Hasil ini menentukan nilai eigen, tetapi belum membuktikan bahwa matriks dapat didiagonalisasi.

Menghitung Nilai Eigen Matriks yang Bukan Segitiga

Nilai Eigen Kompleks

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -1 \\ 1 & 1-t \end{pmatrix}

t^2-2t+2=0\iff(t-1)^2=-1\iff t=1\pm i

$Akar polinomial karakteristik ini$ adalah $\lambda_1 = 1 + i$ dan $\lambda_2 = 1 - i$ .

Nilai Eigen Nol

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -i \\ i & 1-t \end{pmatrix}

$Akar polinomial karakteristik ini$ adalah $\lambda_1 = 2$ dan $\lambda_2 = 0$ .

Faktorisasi Polinomial Karakteristik

Ketika $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ memiliki nilai eigen $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ yang $dihitung menurut multiplisitas aljabar$ , polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan sebagai:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)

Misalkan $\sigma(A)$ menyatakan himpunan berhingga semua nilai eigen berbeda dari $A$ . Jumlah multiplisitas aljabarnya adalah $n$ :

\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \mu_A(\lambda) = n

Dalam bentuk yang lebih kompak:

\chi_A(t) = \prod_{\lambda \in \sigma(A)} (\lambda - t)^{\mu_A(\lambda)}

Sifat ini berlaku secara alami untuk nilai eigen kompleks dari matriks dengan entri real. Nilai eigen bisa berupa bilangan real atau berpasangan kompleks konjugat.

Hubungan Determinan dan Jejak

\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i

$Determinan adalah hasil kali$ semua nilai eigen, sementara $jejak adalah jumlah$ semua nilai eigen.

Verifikasi dengan contoh sebelumnya:

Untuk matriks berikut dengan nilai eigen $\lambda_1 = 1 + i$ dan $\lambda_2 = 1 - i$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Kita dapat memeriksa nilai eigen melalui determinan dan jejak matriks:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \\ &= 2 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Untuk matriks berikut dengan nilai eigen $\lambda_1 = 2$ dan $\lambda_2 = 0$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}

Kita dapat memeriksa nilai eigen melalui determinan dan jejak matriks:

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) \\ &= 0 \\ &= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \end{aligned}

Kedua identitas ini berguna untuk memeriksa hasil, tetapi belum menentukan semua nilai eigen matriks umum ketika $n > 2$ . Salah satu akibat langsungnya adalah:

\det A = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \in \sigma(A)

Jadi, matriks persegi singular tepat ketika nol merupakan salah satu nilai eigennya.