Untuk matriks diagonal, nilai eigen bisa langsung dibaca dari entri diagonal utamanya. Ini adalah salah satu keistimewaan paling menarik dalam aljabar linear.
Nilai eigen dari matriks diagonal kuadrat atau matriks segitiga A∈Kn×n
A=a110⋱0ann
atau A=a110∗⋱ann
atau A=a11∗⋱0ann
adalah entri diagonal utamanya:
λ1=a11,…,λn=ann
Mengapa hal ini benar? Karena χA(t)=det(A−t⋅I)=(a11−t)⋯(ann−t) dengan akar-akar a11,…,ann.
Sifat ini sangat memudahkan kita karena tidak perlu menghitung determinan atau menyelesaikan persamaan karakteristik yang kompleks.
Matriks segitiga memiliki sifat yang sama dengan matriks diagonal. Baik matriks segitiga atas maupun segitiga bawah, nilai eigennya tetap merupakan entri diagonal utama.
Hal ini terjadi karena ketika kita menghitung det(A−tI), entri di atas atau di bawah diagonal utama tidak mempengaruhi hasil perhitungan determinan. Struktur segitiga membuat determinan bisa dihitung sebagai perkalian entri diagonal.
Ketika matriks A∈Cn×n memiliki n nilai eigen yang tidak harus berbeda λ1,…,λn∈C, polinomial karakteristik χA(t) bisa difaktorkan sebagai:
χA(t)=(λ1−t)⋯(λn−t)
Jumlah multiplisitas aljabar dari semua nilai eigen adalah n:
λ∈C∑μA(λ)=n
Dalam bentuk yang lebih kompak:
χA(t)=λ∈C∏(λ−t)μA(λ)
Sifat ini berlaku secara alami untuk nilai eigen kompleks dari matriks dengan entri real. Nilai eigen bisa berupa bilangan real atau berpasangan kompleks konjugat.
Ada hubungan fundamental antara nilai eigen dengan determinan dan jejak matriks. Jika polinomial karakteristik χA(t) dapat difaktorkan secara linear di K, yang berarti matriks A memiliki n nilai eigen λ1,…,λn∈K, maka:
detA=i=1∏nλi
trA=i=1∑nλi
Determinan adalah hasil kali semua nilai eigen, sementara jejak adalah jumlah semua nilai eigen.
Mari kita verifikasi dengan contoh sebelumnya:
Untuk A=(11−11) dengan λ1=1+i, λ2=1−i:
detA=1⋅1−1⋅(−1)=2=λ1⋅λ2
trA=1+1=2=λ1+λ2
Untuk A=(1i−i1) dengan λ1=2, λ2=0:
detA=1⋅1−i⋅(−i)=0=λ1⋅λ2
trA=1+1=2=λ1+λ2
Hubungan ini sangat berguna untuk verifikasi perhitungan dan memberikan wawasan geometris tentang transformasi linear yang diwakili oleh matriks.