Menghitung Nilai Eigen Terpilih

Iterasi Invers Bergeser

Iterasi invers bergeser $menargetkan nilai eigen yang paling dekat dengan pergeseran$ $\mu$ . Kita mulai dengan matriks simetris real $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ . Semua nilai eigennya real dan vektor eigennya dapat dipilih sebagai basis ortonormal.

Pilih $\mu$ yang bukan nilai eigen dan vektor awal satuan $q_0$ yang memiliki komponen tak nol pada arah vektor eigen tujuan. Faktorkan $A-\mu I$ sekali, lalu gunakan kembali faktorisasi tersebut.

Asumsikan nilai eigen tujuan $paling dekat secara unik dengan pergeseran$ . Dua nilai eigen yang berjarak sama tidak menghasilkan satu magnitudo transformasi dominan. Konvergensi yang dimaksud adalah konvergensi arah eigen. Nilai eigen transformasi negatif dapat membuat tanda vektor berganti.

Satu Langkah Iterasi

Untuk $k=0,1,2,\ldots$ , lakukan:

(A-\mu I)y_{k+1}=q_k

$Hasil bagi Rayleigh$ $\rho_{k+1}$ memperkirakan nilai eigen. Aturan penghentian yang memperhatikan skala memeriksa residu. Perbandingan dua estimasi berurutan saja belum cukup:

\|r_{k+1}\|_2 \leq \tau\bigl(\|A\|_2+|\rho_{k+1}|\bigr)

Untuk pasangan eigen yang memenuhi $Av_i=\lambda_i v_i$ , invers bergeser bekerja sebagai berikut.

(A-\mu I)^{-1}v_i=\frac{1}{\lambda_i-\mu}v_i

Hubungan ini menunjukkan bahwa nilai eigen yang paling dekat dengan $\mu$ menghasilkan magnitudo transformasi terbesar. Dalam implementasi, kita menyelesaikan sistem linear tanpa membentuk $(A-\mu I)^{-1}$ secara eksplisit.

Iterasi Pangkat

Iterasi pangkat menargetkan nilai eigen dengan $nilai absolut terbesar$ . Mulai dari vektor satuan $q_0$ , ulangi:

y_{k+1}=Aq_k

Untuk matriks simetris, konvergensi menuju vektor eigen dominan memerlukan celah spektral berikut.

|\lambda_1|>|\lambda_2|

Vektor awal juga harus memiliki komponen tak nol pada arah vektor eigen untuk $\lambda_1$ . Faktor konvergensi asimtotik sekitar $|\lambda_2/\lambda_1|$ . Magnitudo dominan yang sama atau sangat berdekatan dapat memperlambat atau menggagalkan konvergensi satu vektor.

Nilai Eigen yang Ditemukan Setiap Metode

Kata “terkecil” bersifat ambigu, sehingga target harus selalu dinyatakan secara tepat.

Metode	Target
Iterasi pangkat pada $A$	Nilai eigen dengan nilai absolut terbesar
Iterasi invers dengan $\mu=0$ dan $A$ invertibel	Nilai eigen tak nol dengan nilai absolut terkecil
Iterasi invers bergeser	Nilai eigen yang paling dekat dengan $\mu$
Iterasi invers pada matriks definit positif	Nilai eigen aljabar terkecil, yang juga terkecil secara absolut

Pada matriks tak definit, nilai eigen dengan $nilai absolut terkecil belum tentu$ merupakan nilai eigen paling negatif. Bedakan kedua nilai ini agar tidak memilih nilai eigen yang keliru.

Contoh Iterasi Invers Bergeser

Perhatikan

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}

Sistem bergeser pada iterasi pertama menghasilkan

y_1=(A-I)^{-1}q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1/4\end{pmatrix}

Karena $2$ lebih dekat ke pergeseran $1$ daripada $5$ , iterasi berikutnya mendorong $komponen kedua menuju nol$ dan $\rho_k$ menuju $2$ .

Periksa juga residual pertama. Estimasinya membaik, tetapi belum konvergen:

r_1=\frac1{17\sqrt{17}}\begin{pmatrix}-12\\48\end{pmatrix},\qquad \|r_1\|_2=\frac{12}{17}

Pemeriksaan Praktis

Pemeriksaan berikut memutuskan apakah pasangan nilai eigen dan vektor eigen hasil hitunganmu benar tanpa mengulang seluruh determinan. Kerjakan berurutan untuk setiap pasangan yang kamu peroleh, karena setiap langkah menyaring jenis kesalahan yang berbeda: satu langkah menangkap penyimpangan angka, langkah lain menangkap pilihan tanda yang bebas.

Faktorkan matriks bergeser dengan metode yang stabil dan pivoting jika diperlukan. Jika pergeseran tepat mengenai nilai eigen, matriks bergeser menjadi singular sehingga penyelesaian harus ditangani atau pergeserannya disesuaikan.
Hentikan berdasarkan $norma residu$ . Perubahan kecil antara dua estimasi nilai eigen belum membuktikan bahwa pasangan eigennya akurat.
Tanda vektor eigen bebas dipilih: $q$ dan $-q$ mewakili arah eigen yang sama.
Untuk nilai eigen berkelompok atau matriks nonnormal umum, gunakan algoritma multivektor atau bentuk Schur, dengan Lanczos untuk masalah simetris serta Arnoldi atau $\mathrm{QR}$ .