For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Meskipun matriks tidak dapat didiagonalisasi, masih berlaku teorema berikut ini.
Untuk matriks , jika polinomial karakteristik dari dapat dipecah menjadi faktor-faktor linear, maka serupa dengan matriks segitiga atas . Entri-entri pada diagonal matriks segitiga atas ini adalah semua nilai eigen dari .
Hubungan keserupaan ini dinyatakan dengan:
dengan adalah matriks yang dapat diinverskan.
Bentuk segitiga atas ini dapat dijelaskan secara lebih tepat melalui Bentuk Normal Jordan.
Misalkan dengan polinomial karakteristik:
dengan nilai eigen yang saling berbeda . Maka terdapat matriks yang dapat diinverskan sedemikian sehingga:
Bentuk ini menunjukkan bagaimana matriks dapat diorganisasi menjadi blok-blok yang lebih sederhana, dimana setiap blok dikaitkan dengan satu nilai eigen tertentu.
Untuk setiap , blok Jordan memiliki struktur yang sangat khas. Bayangkan seperti tangga yang hampir sempurna, dimana setiap anak tangga memiliki nilai yang sama (yaitu nilai eigen ), tetapi terdapat "penghubung" berupa angka di posisi tertentu yang membuat struktur ini unik.
Dalam struktur ini, nilai eigen mendominasi diagonal utama, sementara angka muncul pada posisi tertentu di atas diagonal (disebut superdiagonal). Posisi angka dan pada superdiagonal menentukan bagaimana blok Jordan terbagi menjadi sub-blok yang lebih kecil. Struktur ini memberikan informasi lengkap tentang bagaimana transformasi linear bekerja pada ruang vektor yang terkait dengan nilai eigen tersebut.
