Trigonalisasi dan Bentuk Normal Jordan

Ketika diagonalisasi tidak dapat dilakukan

Diagonalisasi membutuhkan basis yang seluruhnya terdiri dari vektor eigen. Basis seperti ini tidak selalu ada. Namun, masih tersedia hasil yang lebih lemah: jika polinomial karakteristik $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ terurai menjadi faktor-faktor linear atas $\mathbb{K}$ , matriks yang dapat diinverskan $S$ akan mengubah $A$ menjadi matriks segitiga atas.

R=S^{-1}AS

Entri diagonalnya adalah nilai-nilai eigen, yang diulang menurut multiplisitas aljabarnya. Atas $\mathbb{C}$ , setiap polinomial karakteristik dapat terurai. Atas $\mathbb{R}$ , syarat ini dapat gagal ketika terdapat nilai eigen nonreal.

Bentuk normal Jordan mempertajam deskripsi segitiga ini. Bentuk ini mencatat nilai eigen dan menunjukkan dengan tepat berapa banyak $vektor eigen yang masih kurang$ untuk membentuk sebuah basis.

Satu blok Jordan

Blok Jordan berukuran $s$ untuk nilai eigen $\lambda$ adalah

J_s(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\0&\lambda&1&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda&1\\0&\cdots&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}

$Matriks nilpoten$ $N_s$ memiliki angka satu pada superdiagonal dan nol di tempat lain. Blok berukuran $1$ hanyalah $(\lambda)$ . Blok yang lebih besar menandakan bahwa satu vektor eigen harus diperluas dengan vektor-vektor eigen tergeneralisasi.

Rantai vektor eigen tergeneralisasi

Vektor $v_1,\ldots,v_s$ membentuk rantai Jordan untuk $\lambda$ jika

(A-\lambda I)v_1=0

$Vektor pertama$ adalah vektor eigen biasa. Kita mensyaratkan $v_1\neq0$ . Relasi rantai kemudian menjamin bahwa semua vektor rantai bebas linear. Setelah dikenai $A-\lambda I$ , setiap vektor berikutnya dipetakan ke vektor sebelumnya. Dalam basis terurut $(v_1,\ldots,v_s)$ , pembatasan $A$ pada rantai ini direpresentasikan oleh $J_s(\lambda)$ .

Bentuk Jordan lengkap

Misalkan polinomial karakteristik $A$ memiliki bentuk berikut.

\chi_A(t)=\prod_{i=1}^{k}(\lambda_i-t)^{a_i}

Jika polinomial ini terurai atas $\mathbb{K}$ dengan nilai eigen berbeda $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ , terdapat matriks yang dapat diinverskan $S$ yang menghasilkan bentuk diagonal blok berikut. Kelompokkan blok yang memiliki nilai eigen sama:

\begin{aligned} &D_i=\operatorname{diag}\bigl(J_{s_{i1}}(\lambda_i), \\ &\ldots,J_{s_{iq_i}}(\lambda_i)\bigr) \\ &i=1,\ldots,k \end{aligned}

Untuk setiap nilai eigen, ukuran blok memenuhi

s_{i1}+\cdots+s_{iq_i}=a_i

$Jumlah blok$ untuk $\lambda_i$ sama dengan multiplisitas geometris $\dim\ker(A-\lambda_iI)$ . Ukuran blok ditentukan secara unik oleh $A$ , meskipun urutannya pada diagonal tidak unik.

Pertanyaan	Informasi dari blok Jordan
Apakah $A$ dapat didiagonalisasi?	Ya, tepat ketika setiap blok Jordan berukuran $1$ .
Berapa banyak vektor eigen bebas linear untuk $\lambda_i$ ?	Satu untuk setiap blok Jordan yang terkait dengan $\lambda_i$ .
Mengapa nilai eigen berulang belum menentukan diagonalisabilitas?	Multiplisitas aljabar yang sama dapat terbagi menjadi blok-blok dengan ukuran berbeda.

Membaca Blok Jordan dari Matriks

Perhatikan

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}=J_2(1)\oplus J_1(2)

Polinomial karakteristiknya adalah

\chi_A(t)=(1-t)^2(2-t)

Untuk $\lambda=1$ ,

A-I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Nilai eigen $1$ memiliki multiplisitas aljabar $2$ , tetapi hanya $satu vektor eigen bebas linear$ . Jadi, $A$ tidak dapat didiagonalisasi. Perhatikan dua vektor berikut.

v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}

Kedua vektor membentuk rantai Jordan karena $(A-I)v_1=0$ dan $(A-I)v_2=v_1$ . Nilai eigen $2$ menghasilkan blok terpisah $J_1(2)$ .

Pangkat Matriks dari Blok Jordan

Untuk $J_s(\lambda)=\lambda I+N$ dengan $N^s=0$ , teorema binomial memberikan rumus pangkat yang eksplisit:

Untuk bilangan bulat $m\ge0$ dan $\lambda\neq0$ :

J_s(\lambda)^m=\sum_{j=0}^{\min(m,s-1)}\binom{m}{j}\lambda^{m-j}N^j

Ketika $\lambda=0$ , gunakan langsung $J_s(0)^m=N^m$ , dengan $N^0=I$ . Sebagai contoh, entri superdiagonal bertambah pada setiap perkalian:

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}

Rumus ini menjelaskan mengapa pangkat matriks yang tidak dapat didiagonalisasi mengandung $faktor polinomial$ dalam $m$ , selain pangkat nilai eigennya. Rumus tersebut memberikan pangkat matriks eksak yang digunakan untuk menganalisis relasi rekurensi dan persamaan diferensial.

Bentuk Jordan terutama digunakan untuk klasifikasi aljabar eksak. Bentuk ini sangat peka terhadap gangguan numerik kecil. Karena itu, perangkat lunak numerik biasanya memakai dekomposisi Schur, yang lebih stabil terhadap pembulatan dan perubahan kecil pada entri matriks.