Produk Dalam

Menjelaskan Geometri dengan Produk Dalam

Ruang vektor memiliki operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Produk dalam menentukan panjang vektor, sudut antara dua vektor, dan apakah kedua vektor ortogonal. Untuk bilangan kompleks, produk dalam yang dipakai bersifat $linear-konjugat pada argumen pertama$ dan linear pada argumen kedua.

Untuk $x,y,z\in\mathbb{C}^n$ dan $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ , produk dalam memenuhi

\langle \lambda x+\mu y,z\rangle=\overline\lambda\langle x,z\rangle+\overline\mu\langle y,z\rangle

Simetri konjugat menjamin bahwa $\langle x,x\rangle$ bernilai real. Pada $\mathbb{R}^n$ , konjugasi kompleks menghilang sehingga produk dalam bersifat simetris dan bilinear.

Produk Dalam Berbobot Matriks

Untuk vektor real, produk dalam berbobot matriks ditulis sebagai:

\langle x,y\rangle_A=x^TAy

Rumus ini mendefinisikan produk dalam tepat ketika $A$ $simetris definit positif$ . Karena $A$ simetris, menukar $x$ dan $y$ tidak mengubah nilai produk dalam. Syarat $x^TAx>0$ untuk setiap $x$ tak nol menjamin nilainya selalu positif.

Untuk vektor kompleks, rumus yang sesuai adalah

\langle x,y\rangle_A=x^HAy

Dalam rumus ini, $A$ harus Hermitian definit positif. Hanya menyatakan bahwa $A$ memiliki entri positif atau entri diagonal positif tidaklah cukup.

Produk dalam Euklides standar diperoleh kembali dengan $A=I$ :

\langle x,y\rangle=x^Ty\qquad\text{pada }\mathbb{R}^n

Panjang Vektor serta Sudut dan Ortogonalitas

Setiap produk dalam menentukan norma berikut:

\|x\|_A=\sqrt{\langle x,x\rangle_A}

Norma ini memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz:

|\langle x,y\rangle_A|\le\|x\|_A\|y\|_A

Bagi vektor real tak nol, ketaksamaan ini memastikan bahwa sudut dapat didefinisikan melalui

\cos\theta_A=\frac{\langle x,y\rangle_A}{\|x\|_A\|y\|_A}

Dua vektor $x$ dan $y$ disebut saling ortogonal dalam metrik berbobot $A$ ketika $\langle x,y\rangle_A=0$ . Mengubah $A$ berarti mengubah geometri yang dipakai, sehingga vektor yang tegak lurus dalam metrik Euklides $belum tentu tegak lurus dalam metrik berbobot$ .

Membandingkan Sudut Euklides dan Sudut Berbobot

Misalkan

\begin{aligned} &A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}, \\ &x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \\ &y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{aligned}

Nilai eigen positif memastikan bahwa $A$ simetris definit positif. Meskipun $x^Ty=0$ , $geometri berbobot$ memberikan

\langle x,y\rangle_A=x^TAy=1

Jadi, vektor koordinat yang sama tegak lurus dalam geometri Euklides, tetapi membentuk sudut $60^\circ$ dalam geometri $A$ .

Vektor Kompleks Ortogonal dengan Konjugasi

Untuk produk dalam standar, ambil

x=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}

Maka

\begin{aligned} \langle x,y\rangle &=x^Hy \\ &=\begin{pmatrix}1&-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix} \\ &=i-i \\ &=0 \end{aligned}

$Konjugasi dalam$ $x^H$ diperlukan. Jika memakai $x^Ty$ , kita tidak memperoleh produk dalam kompleks standar karena $x^Tx$ belum tentu berupa bilangan real nonnegatif.

Proyeksi dalam Geometri Berbobot

Proyeksi $x$ ke subruang satu dimensi yang direntang oleh $u$ tak nol adalah

\operatorname{proj}^{A}_{u}(x)=u\frac{\langle u,x\rangle_A}{\langle u,u\rangle_A}

$Residual proyeksi$ tersebut ortogonal terhadap $u$ dalam geometri $A$ :

\left\langle u,x-\operatorname{proj}^{A}_{u}(x)\right\rangle_A=0

Prinsip yang sama digunakan dalam kuadrat terkecil berbobot. Residual hasil pencocokan ortogonal terhadap ruang model menurut produk dalam yang dipilih.

Dengan $A$ yang sama, proyeksikan $x=e_2$ pada $u=e_1$ . Koefisien berbobotnya $1/2$ , sedangkan koefisien Euklidesnya nol:

\operatorname{proj}^{A}_{e_1}(e_2)=\frac12e_1,\qquad r=\begin{pmatrix}-1/2\\1\end{pmatrix},\qquad e_1^TAr=2(-1/2)+1=0

Menuliskan Hasil Kali Dalam sebagai Matriks

Dalam basis standar $e_1,\ldots,e_n$ , setiap produk dalam berdimensi hingga memiliki satu matriks representasi dengan entri

a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle

Matriks itu simetris definit positif pada ruang real dan Hermitian definit positif pada ruang kompleks.

Untuk vektor $v_1,\ldots,v_k$ , matriks Gram memiliki entri

G_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle_A

Matriks Gram bersifat Hermitian semidefinit positif. Matriks ini menjadi definit positif tepat ketika semua vektor $bebas linear$ . Setiap entrinya mencatat produk dalam dari sepasang vektor, sehingga kita dapat memeriksa sudut dan kebebasan linear.