Teorema Spektral untuk Matriks Kompleks

Karakterisasi Diagonalisasi Uniter

Teorema spektral kompleks mengarakterisasi dengan tepat kapan vektor eigen dapat dipilih secara ortonormal. Teorema ini menghubungkan geometri basis uniter dengan syarat aljabar berupa normalitas.

Untuk $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ , pernyataan berikut ekuivalen:

Terdapat basis ortonormal bagi $\mathbb{C}^n$ yang terdiri atas vektor eigen $A$ .
Matriks tersebut normal: $A^HA=AA^H$ .
Terdapat matriks uniter $U$ dan matriks diagonal $\Lambda$ sehingga $A=U\Lambda U^H$ .

Teorema ini lebih kuat daripada diagonalisabilitas biasa. Matriks yang dapat didiagonalkan mungkin memiliki basis vektor eigen berkondisi buruk, sedangkan $basis uniter mempertahankan norma dan sudut$ .

Pembuktian Arah Pertama

Pertama, misalkan terdapat basis ortonormal yang terdiri dari vektor eigen. Kita akan menunjukkan secara langsung bahwa matriks tersebut normal.

Misalkan $v_1, \ldots, v_n$ adalah basis ortonormal yang terdiri dari vektor eigen matriks $A$ . Untuk setiap $j = 1, \ldots, n$ berlaku $Av_j = \lambda_j v_j$ .

Karena basis ortonormal, kita punya rangkaian perhitungan berikut:

(A^H v_i)^H v_j = v_i^H (Av_j) = v_i^H (\lambda_j v_j)

Ini berarti $A^H v_i = \overline{\lambda_i} v_i$ , sehingga:

AA^H v_i = A(\overline{\lambda_i} v_i) = \overline{\lambda_i} \lambda_i v_i

Karena ini berlaku untuk $semua vektor basis$ , maka $AA^H = A^H A$ , yang berarti $A$ normal.

Pembuktian Normalitas ke Diagonalisasi

Arah sebaliknya dibuktikan dengan $induksi pada ukuran matriks$ $n$ . Kasus dasar menangani ukuran terkecil yang memenuhi syarat, lalu langkah induksi mereduksi matriks $n \times n$ menjadi blok normal berukuran $(n-1) \times (n-1)$ .

Struktur Induksi Matematis

Buktinya disusun dengan induksi, jadi langkah berikut menetapkan kasus dasar, menyatakan asumsi induksi, lalu mengambil langkah dari $n-1$ ke $n$ .

$Langkah Basis$ Untuk $n = 0$ , matriks kosong memenuhi pernyataan.

$Hipotesis Induksi$ Asumsikan pernyataan benar untuk semua matriks normal berukuran $(n-1) \times (n-1)$ .

$Langkah Induksi$ Misalkan $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ normal. Berdasarkan teorema fundamental aljabar, terdapat nilai eigen $\lambda_1 \in \mathbb{C}$ dari $A$ . Misalkan $v_1 \in \mathbb{C}^n$ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan $v_1^H v_1 = 1$ .

Kita punya $Av_1 = \lambda_1 v_1$ . Lemma berikut menunjukkan bahwa $A^H v_1 = \overline{\lambda_1} v_1$ juga berlaku.

Mengapa Adjoin Memiliki Vektor Eigen yang Sama

Misalkan $B=A-\lambda_1I$ . Karena $A$ normal, $B$ juga normal. Dengan demikian,

\|B^Hv_1\|_2^2=v_1^HBB^Hv_1

Maka $B^Hv_1=0$ , yang tepat berarti $A^Hv_1=\overline{\lambda_1}v_1$ . Langkah inilah yang membuat $komplemen ortogonal$ dari $v_1$ bersifat invarian.

Pembentukan Subruang Invarian

Lengkapi $v_1$ menjadi basis ortonormal $\mathbb{C}^n$ dengan vektor $v_2, \ldots, v_n$ . Definisikan:

W = \operatorname{span}(v_2, \ldots, v_n)

Di sini rentang dari vektor-vektor $v_2, \ldots, v_n$ adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut. Dengan kata lain, $W$ berisi semua vektor yang dapat ditulis sebagai $a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n$ dengan $a_2, a_3, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$ .

Untuk setiap $w \in W$ , berlaku:

(Aw)^H v_1 = w^H (A^H v_1) = w^H (\overline{\lambda_1} v_1)

Jadi $Aw \in W$ , yang berarti:

A(W) = \{Aw \mid w \in W\} \subset W

Dengan kata lain, $W$ $invarian terhadap$ $A$ : menerapkan $A$ pada sebarang vektor di $W$ menghasilkan vektor lain yang tetap berada di $W$ .

Transformasi Uniter dan Pemeliharaan Normalitas

Misalkan $T \in \mathbb{C}^{n \times n}$ adalah matriks uniter dengan kolom $v_1, \ldots, v_n$ . Maka $T \cdot T^H = T \cdot T^{-1} = I$ .

Dalam basis uniter ini, $A$ memiliki bentuk blok berikut:

T^H \cdot A \cdot T = T^{-1} \cdot A \cdot T

Blok kanan bawah $A'$ memiliki ukuran

A' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}

Karena transformasi kesebangunan uniter $mempertahankan normalitas$ , kita dapat menunjukkan bahwa:

(T^H \cdot A \cdot T) \cdot (T^H \cdot A \cdot T)^H

Oleh karena itu matriks blok diagonal juga normal, yang berarti $A'$ juga normal.

Konstruksi Basis Ortonormal Lengkap

Berdasarkan $hipotesis induksi$ , terdapat basis ortonormal $v'_2, \ldots, v'_n$ yang terdiri atas vektor-vektor eigen $A'$ . Misalkan $S'$ adalah matriks uniter dengan kolom tersebut.

S' \in \mathbb{C}^{(n-1) \times (n-1)}

Dalam basis $S'$ , matriks $A'$ menjadi diagonal:

S'^H \cdot A' \cdot S' = \begin{pmatrix} \lambda_2 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}

Entri diagonal $\lambda_2, \ldots, \lambda_n$ adalah nilai eigen dari $A'$ .

Sekarang kita definisikan:

S = T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix}

Maka $S$ adalah matriks uniter dengan:

S \in \mathbb{C}^{n \times n}

Substitusi matriks $S$ ke transformasi kesebangunan memberikan

\begin{aligned} &S^H \cdot A \cdot S \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S'^H \end{pmatrix} \cdot T^H \cdot A \cdot T \\ &\quad{}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & S' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0^T \\ 0 & S'^H A' S' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} \end{aligned}

Kolom dari $S$ membentuk basis ortonormal dari vektor eigen matriks $A$ .

Kasus Matriks Riil

Untuk matriks real, perbedaannya terletak pada apakah nilai eigen dan vektor eigen yang diperlukan juga bernilai real.

A \in \mathbb{R}^{n \times n}

Matriks real $A$ disebut normal jika

A \cdot A^T = A^T \cdot A

Matriks normal real tetap dapat didiagonalkan secara uniter pada $\mathbb{C}$ , tetapi vektor eigen dan nilai eigennya belum tentu real. Pada $\mathbb{R}$ , perubahan basis ortogonal menghasilkan matriks diagonal blok yang berisi blok nilai eigen real $(\lambda)$ dan blok

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}

Setiap blok berukuran $2\times2$ ini mewakili pasangan nilai eigen konjugat $a\pm bi$ . Matriks normal real dapat didiagonalkan secara ortogonal pada $\mathbb{R}$ tepat ketika $semua nilai eigennya real$ .

Matriks simetris dan matriks ortogonal selalu normal. Untuk matriks simetris dengan $A^T = A$ , berlaku

A \cdot A^T = A \cdot A = A^T \cdot A

Untuk matriks ortogonal $A^T = A^{-1}$ , kita punya:

A \cdot A^T = A \cdot A^{-1} = I

Contoh Rotasi

$Rotasi seperempat putaran$ dapat ditulis dengan matriks berikut:

R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

Matriks $R$ bersifat real dan ortogonal, sehingga normal. Nilai eigennya adalah $i$ dan $-i$ , dengan vektor eigen ternormalisasi berikut:

\begin{aligned} &u_+=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}, \\ &u_-=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi, $R$ dapat didiagonalkan secara uniter pada $\mathbb{C}$ , tetapi tidak dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal real. Pada $\mathbb{R}$ , rotasi itu sendiri merupakan blok $2\times2$ yang diperlukan.