Teorema spektral untuk matriks kompleks memberikan karakterisasi lengkap tentang kapan sebuah matriks kompleks dapat didiagonalisasi menggunakan basis ortonormal dari vektor eigen. Ini adalah hasil yang sangat penting dalam aljabar linear karena menghubungkan konsep geometri (basis ortonormal) dengan konsep aljabar (normalitas matriks).
Untuk matriks kompleks A∈Cn×n, kondisi berikut ini ekuivalen satu sama lain:
Terdapat basis ortonormal dari yang terdiri dari vektor eigen matriks
Cn
A
Matriks A adalah normal
Ekuivalensi ini penting karena menunjukkan bahwa sifat aljabar (normalitas) berkaitan langsung dengan kemungkinan diagonalisasi ortogonal.
Mari kita buktikan bahwa jika terdapat basis ortonormal dari vektor eigen, maka matriks tersebut normal. Ini seperti membuktikan bahwa jika sebuah bangunan memiliki struktur yang sangat teratur dan simetris, maka bangunan tersebut memiliki sifat keseimbangan khusus.
Misalkan v1,…,vn adalah basis ortonormal yang terdiri dari vektor eigen matriks A. Untuk setiap j=1,…,n berlaku Avj=λjvj.
Karena basis ortonormal, kita punya rangkaian perhitungan berikut:
(AHvi)Hvj=viH(Avj)=viH(λjvj)
=λjviHvj=λjδij
Ini berarti AHvi=λivi, sehingga:
AAHvi=A(λivi)=λiλivi
=λiλivi=λi(AHvi)=AH(λivi)=AHAvi
Karena ini berlaku untuk semua vektor basis, maka AAH=AHA, yang berarti A normal.
Sekarang kita buktikan arah sebaliknya menggunakan induksi matematis. Bayangkan seperti membangun rumah tingkat, kita mulai dari lantai dasar dan membuktikan bahwa setiap lantai baru dapat dibangun menggunakan hasil dari lantai sebelumnya.
Langkah Basis
Untuk n=0 (matriks kosong), pernyataan jelas benar.
Hipotesis Induksi
Asumsikan pernyataan benar untuk semua matriks normal berukuran (n−1)×(n−1).
Langkah Induksi
Misalkan A∈Cn×n normal. Berdasarkan teorema fundamental aljabar, terdapat nilai eigen λ1∈C dari A. Misalkan v1∈Cn adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan v1Hv1=1.
Kita punya Av1=λ1v1 dan dari sifat matriks normal, AHv1=λ1v1.
Lengkapi v1 menjadi basis ortonormal Cn dengan vektor v2,…,vn. Definisikan:
W=rentang(v2,…,vn)
Di sini rentang dari vektor-vektor v2,…,vn adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut. Dengan kata lain, W berisi semua vektor yang dapat ditulis sebagai a2v2+a3v3+⋯+anvn dengan a2,a3,…,an∈C.
Untuk setiap w∈W, berlaku:
(Aw)Hv1=wH(AHv1)=wH(λ1v1)
=λ1wHv1=0
Jadi Aw∈W, yang berarti:
A(W)={Aw∣w∈W}⊂W
Dengan kata lain, W adalah subruang yang invarian (tidak berubah) di bawah transformasi A. Ini seperti kolam terpisah dimana ikan yang berenang di kolam tersebut tidak pernah keluar dari kolam.
Sekarang kita sampai pada tahap akhir seperti menyusun teka-teki yang sudah hampir selesai. Berdasarkan hipotesis induksi, terdapat basis ortonormal v2′,…,vn′ dari vektor eigen untuk A′. Misalkan S′ adalah matriks kesatuan dengan kolom tersebut, dimana:
S′∈C(n−1)×(n−1)
sehingga:
S′H⋅A′⋅S′=λ2⋱λn
dengan nilai eigen λ2,…,λn dari A′.
Sekarang kita definisikan:
S=T⋅(100TS′)
Maka S adalah matriks kesatuan dengan:
S∈Cn×n
dan:
SH⋅A⋅S=(100TS′H)⋅TH⋅A⋅T
⋅(100TS′)
=(λ100TS′HA′S′)
=λ1⋱λn
Kolom dari S membentuk basis ortonormal dari vektor eigen matriks A.
Untuk matriks riil, situasinya sedikit berbeda seperti perbedaan antara menggambar di kanvas datar (riil) dibandingkan dengan menggambar dalam ruang tiga dimensi (kompleks). Matriks riil:
A∈Rn×n
disebut normal jika:
A⋅AT=AT⋅A
Matriks riil normal adalah kasus khusus dari matriks kompleks normal dengan entri riil. Karena itu, sifat yang sama berlaku untuk kedua jenis matriks simetris dan ortogonal.
Matriks simetris dan matriks ortogonal selalu normal. Untuk matriks simetris AT=A, jelas bahwa:
A⋅AT=A⋅A=AT⋅A
Untuk matriks ortogonal AT=A−1, kita punya:
A⋅AT=A⋅A−1=I
=A−1⋅A=AT⋅A
Namun, tidak semua matriks riil normal memiliki nilai eigen riil. Dalam teorema spektral riil, keberadaan nilai eigen riil tidak dijamin, sehingga diagonalisasi ortogonal mungkin tidak selalu dimungkinkan dalam bilangan riil.
