Teorema Pengembangan Laplace

Menghitung Determinan dari Baris atau Kolom

Pengembangan Laplace menuliskan determinan sebagai jumlah hasil kali elemen dengan kofaktornya $pada salah satu baris atau kolom$ . Setiap kofaktor memuat determinan matriks yang ukurannya satu tingkat lebih kecil.

Pilih baris atau kolom yang memiliki banyak elemen nol. Suku yang dikalikan nol akan hilang, sehingga jumlah determinan kecil yang harus dihitung berkurang.

Mengembangkan Determinan Sepanjang Baris atau Kolom

Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , determinan dapat dihitung dengan dua cara:

Misalkan $A_{ij}$ adalah matriks $(n-1) \times (n-1)$ yang diperoleh dengan menghapus baris $i$ dan kolom $j$ dari $A$ . Determinan minor dengan $tanda berselang-seling$ disebut kofaktor

C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}

Pola tanda untuk tiga baris dan tiga kolom berikut memperlihatkan bahwa setiap langkah ke kanan atau ke bawah membalik tanda.

	j = 1	j = 2	j = 3
i = 1	+	−	+
i = 2	−	+	−
i = 3	+	−	+

Pengembangan sepanjang sembarang kolom $j$ memberikan

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Rumus pengembangan kolom tersebut berlaku untuk setiap $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Determinan juga dapat dihitung berdasarkan baris ke- $i$ :

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Rumus pengembangan baris tersebut berlaku untuk setiap $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Ekspansi Kofaktor Berdasarkan Ordo Matriks

Aturan ekspansi bekerja dengan cara yang sama pada setiap ordo, tetapi $banyak suku tumbuh cepat$ , jadi kasus berikut memperlihatkan bagaimana pekerjaannya berubah saat matriksnya makin besar.

Matriks Ordo Dua

Untuk matriks berukuran $n = 2$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

$Pengembangan berdasarkan baris pertama$ :

\det A = a_{11} \cdot \det(a_{22}) - a_{12} \cdot \det(a_{21})

Matriks Ordo Tiga

Untuk matriks berukuran $n = 3$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

$Pengembangan berdasarkan baris pertama$ :

\begin{aligned} \det A &= a_{11} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \end{aligned}

Setelah menghitung determinan-determinan $2 \times 2$ :

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot (a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32}) \\ &\quad{}- a_{12} \cdot (a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31}) \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot (a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31}) \end{aligned}

Jika kita kembangkan secara penuh:

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} \end{aligned}

Aturan Sarrus

Pengembangan di atas menghasilkan bentuk yang sama dengan $Aturan Sarrus$ . Untuk matriks $3 \times 3$ , aturan ini menjumlahkan hasil kali pada tiga diagonal turun lalu mengurangi hasil kali pada tiga diagonal naik.

Rumus Sarrus untuk matriks $3 \times 3$ :

\begin{aligned} \det A &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31} \\ &\quad{}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \\ &\quad{}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

Aturan Sarrus menggunakan pola diagonal untuk menentukan suku-suku mana yang dijumlahkan dan mana yang dikurangkan.

Aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks $3 \times 3$ . Untuk matriks yang lebih besar, gunakan pengembangan kofaktor atau metode berbasis faktorisasi. Memperpanjang pola diagonal tersebut akan menghasilkan aturan yang salah.

Kompleksitas Komputasi

Untuk matriks padat berukuran $n \times n$ , implementasi rekursif langsung menghitung $n$ determinan berukuran $n-1$ pada setiap tingkat. Beban komputasinya mengikuti rekurensi

T(n)=nT(n-1)+O(n)

$Pertumbuhan faktorial$ membuat pengembangan Laplace rekursif tidak praktis untuk matriks padat berukuran besar. Eliminasi Gauss atau faktorisasi $\mathrm{LU}$ menghitung determinan dalam $O(n^3)$ operasi aritmetika.

Menggunakan Entri Nol

Ketika matriks memiliki banyak entri nol, pilih baris atau kolom yang memuat $nol sebanyak mungkin$ . Setiap suku dengan koefisien terpilih $a_{ij}$ bernilai nol akan lenyap, sehingga minornya tidak perlu dihitung.

Memilih Baris yang Memiliki Entri Nol

Misalkan kita memiliki matriks:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$Pengembangan berdasarkan baris pertama$ :

\begin{aligned} \det A &= 0 \cdot \det(\ldots) - 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Karena $elemen pertama bernilai nol$ , ekspansi kofaktor baris pertama menyisakan dua suku:

\begin{aligned} &= -3 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \\ &\quad{}+ 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) \end{aligned}

Dengan memilih baris atau kolom yang memiliki banyak nol, kita dapat menghemat perhitungan.

Determinan Matriks Transpos

Pengembangan Laplace juga menghasilkan sifat berikut:

\det A^T = \det A

Ini berarti determinan matriks sama dengan $determinan transposnya$ .

Konsekuensi untuk Baris dan Kolom

Karena $sifat transpos$ ini, semua sifat determinan yang berlaku untuk baris matriks $A$ juga berlaku untuk kolom matriks $A$ .

Misalnya:

Jika dua baris identik maka determinan nol, demikian juga jika dua kolom identik
Menukar dua baris mengubah tanda determinan, begitu pula menukar dua kolom
Operasi baris dan kolom elementer yang bersesuaian mengikuti aturan determinan yang sepadan

Menghitung Determinan dari Baris atau Kolom

Pilih baris atau kolom yang memiliki banyak elemen nol. Suku yang dikalikan nol akan hilang, sehingga jumlah determinan kecil yang harus dihitung berkurang.

Mengembangkan Determinan Sepanjang Baris atau Kolom

Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , determinan dapat dihitung dengan dua cara:

Misalkan $A_{ij}$ adalah matriks $(n-1) \times (n-1)$ yang diperoleh dengan menghapus baris $i$ dan kolom $j$ dari $A$ . Determinan minor dengan $tanda berselang-seling$ disebut kofaktor

C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}

Pola tanda untuk tiga baris dan tiga kolom berikut memperlihatkan bahwa setiap langkah ke kanan atau ke bawah membalik tanda.

	j = 1	j = 2	j = 3
i = 1	+	−	+
i = 2	−	+	−
i = 3	+	−	+

Pengembangan sepanjang sembarang kolom $j$ memberikan

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Rumus pengembangan kolom tersebut berlaku untuk setiap $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Determinan juga dapat dihitung berdasarkan baris ke- $i$ :

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}

Rumus pengembangan baris tersebut berlaku untuk setiap $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ .

Ekspansi Kofaktor Berdasarkan Ordo Matriks

Aturan ekspansi bekerja dengan cara yang sama pada setiap ordo, tetapi $banyak suku tumbuh cepat$ , jadi kasus berikut memperlihatkan bagaimana pekerjaannya berubah saat matriksnya makin besar.

Matriks Ordo Dua

Untuk matriks berukuran $n = 2$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

$Pengembangan berdasarkan baris pertama$ :

\det A = a_{11} \cdot \det(a_{22}) - a_{12} \cdot \det(a_{21})

Matriks Ordo Tiga

Untuk matriks berukuran $n = 3$ :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

$Pengembangan berdasarkan baris pertama$ :

\begin{aligned} \det A &= a_{11} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \end{aligned}

Setelah menghitung determinan-determinan $2 \times 2$ :

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot (a_{22} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{32}) \\ &\quad{}- a_{12} \cdot (a_{21} \cdot a_{33} - a_{23} \cdot a_{31}) \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot (a_{21} \cdot a_{32} - a_{22} \cdot a_{31}) \end{aligned}

Jika kita kembangkan secara penuh:

\begin{aligned} &= a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} \\ &\quad{}- a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \\ &\quad{}+ a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} \end{aligned}

Aturan Sarrus

Rumus Sarrus untuk matriks $3 \times 3$ :

\begin{aligned} \det A &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31} \\ &\quad{}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \\ &\quad{}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

Aturan Sarrus menggunakan pola diagonal untuk menentukan suku-suku mana yang dijumlahkan dan mana yang dikurangkan.

Kompleksitas Komputasi

Untuk matriks padat berukuran $n \times n$ , implementasi rekursif langsung menghitung $n$ determinan berukuran $n-1$ pada setiap tingkat. Beban komputasinya mengikuti rekurensi

T(n)=nT(n-1)+O(n)

Menggunakan Entri Nol

Memilih Baris yang Memiliki Entri Nol

Misalkan kita memiliki matriks:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$Pengembangan berdasarkan baris pertama$ :

\begin{aligned} \det A &= 0 \cdot \det(\ldots) - 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Karena $elemen pertama bernilai nol$ , ekspansi kofaktor baris pertama menyisakan dua suku:

\begin{aligned} &= -3 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) \\ &\quad{}+ 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) \end{aligned}

Dengan memilih baris atau kolom yang memiliki banyak nol, kita dapat menghemat perhitungan.

Determinan Matriks Transpos

Pengembangan Laplace juga menghasilkan sifat berikut:

\det A^T = \det A

Ini berarti determinan matriks sama dengan $determinan transposnya$ .

Konsekuensi untuk Baris dan Kolom

Karena $sifat transpos$ ini, semua sifat determinan yang berlaku untuk baris matriks $A$ juga berlaku untuk kolom matriks $A$ .

Misalnya:

Jika dua baris identik maka determinan nol, demikian juga jika dua kolom identik
Menukar dua baris mengubah tanda determinan, begitu pula menukar dua kolom
Operasi baris dan kolom elementer yang bersesuaian mengikuti aturan determinan yang sepadan