Transformasi Sumbu Nyata

Bentuk Kuadrat dengan Matriks Simetris

Ketika kamu menghadapi persamaan kuadrat umum, cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan melihat strukturnya dalam bentuk matriks. Bayangkan kamu memiliki matriks simetris $A$ dengan elemen-elemen:

A = \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix}

Matriks ini memiliki nilai eigen $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ dan vektor eigen ortonormal yang sesuai $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2$ . Hal yang menarik terjadi ketika kita menggunakan transformasi koordinat melalui matriks $S = (v_1 \quad v_2) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ .

Untuk transformasi koordinat, kita menggunakan $\begin{pmatrix} \delta \\ \epsilon \end{pmatrix} = S^T \begin{pmatrix} d \\ e \end{pmatrix}$ . Dalam koordinat baru $\xi = S^T x$ , persamaan berubah menjadi:

\lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + \delta \xi_1 + \epsilon \xi_2 + f = 0

Proses Melengkapkan Kuadrat

Untuk kedua variabel dengan $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0$ , proses melengkapkan kuadrat dilakukan secara terpisah:

\begin{aligned} 0 &= \lambda_1 \left( \xi_1^2 + 2 \frac{\delta}{2\lambda_1} \xi_1 + \frac{\delta^2}{4\lambda_1^2} \right) - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} \\ &\quad + \lambda_2 \left( \xi_2^2 + 2 \frac{\epsilon}{2\lambda_2} \xi_2 + \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2^2} \right) - \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} + f \end{aligned}

Hasil dari proses ini memberikan bentuk yang lebih sederhana:

\begin{aligned} &= \lambda_1 \left( \xi_1 + \frac{\delta}{2\lambda_1} \right)^2 + \lambda_2 \left( \xi_2 + \frac{\epsilon}{2\lambda_2} \right)^2 \\ &\quad + \left( f - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} - \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} \right) \end{aligned}

Dengan menentukan titik pusat $(m_1, m_2) = \left( -\frac{\delta}{2\lambda_1}, -\frac{\epsilon}{2\lambda_2} \right)$ dan konstanta $\gamma = \frac{\delta^2}{4\lambda_1} + \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} - f$ , kita memperoleh:

\lambda_1 (\xi_1 - m_1)^2 + \lambda_2 (\xi_2 - m_2)^2 - \gamma = 0

Untuk $\gamma > 0$ , berbagai bentuk kurva dapat muncul tergantung tanda nilai eigen.

Klasifikasi Kurva

Kedua Nilai Eigen Positif

Jika $\lambda_1 > 0$ dan $\lambda_2 > 0$ , maka irisan kerucut yang terbentuk adalah elips:

\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} + \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1

Dengan panjang sumbu setengah $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ dalam arah $v_1$ dan $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_2}}$ dalam arah $v_2$ .

Visualisasi Elips dalam Koordinat

\xi_1, \xi_2

Kurva elips dengan kedua nilai eigen positif dan sumbu utama sesuai arah vektor eigen.

Nilai Eigen Berlawanan Tanda

Ketika $\lambda_1 > 0$ dan $\lambda_2 < 0$ , irisan kerucut yang terbentuk adalah hiperbola:

\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} - \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1

Dengan panjang sumbu setengah $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ dalam arah $v_1$ dan $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{-\lambda_2}}$ dalam arah $v_2$ .

Visualisasi Hiperbola dalam Koordinat

\xi_1, \xi_2

Kurva hiperbola dengan sumbu utama sesuai arah vektor eigen dan pusat transformasi.

Salah Satu Nilai Eigen Nol

Kondisi khusus terjadi ketika $\lambda_1 \neq 0$ dan $\lambda_2 = 0$ . Melengkapkan kuadrat memberikan:

0 = \lambda_1 \left( \xi_1^2 + 2 \frac{\delta}{2\lambda_1} \xi_1 + \frac{\delta^2}{4\lambda_1^2} \right) - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} + \epsilon \xi_2 + f

Irisan kerucut yang terbentuk adalah parabola:

\xi_2 = -\frac{\lambda_1}{\epsilon} (\xi_1 - m_1)^2 + \frac{\gamma}{\epsilon}

Visualisasi Parabola dalam Koordinat

\xi_1, \xi_2

Kurva parabola dengan satu nilai eigen nol dan transformasi sumbu koordinat sesuai vektor eigen.

Contoh Dua Dimensi

Irisan kerucut dalam $\mathbb{R}^2$ memenuhi persamaan kuadrat umum:

ax_1^2 + bx_1x_2 + cx_2^2 + dx_1 + ex_2 + f = 0

Yang dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai:

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d \\ e \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + f = 0

Permukaan Kuadrat dan Transformasi

Untuk matriks simetris $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , vektor $b \in \mathbb{R}^n$ , dan skalar $c \in \mathbb{R}$ , permukaan kuadrat $Q$ didefinisikan sebagai himpunan solusi persamaan kuadrat umum:

x^T A x + b^T x + c = 0

Yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit:

Q = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : x^T A x + b^T x + c = 0 \right\}

Jika $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ simetris dan $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$ adalah basis ortonormal dari vektor eigen dengan $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ , maka matriks ortonormal $S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n)$ memungkinkan diagonalisasi $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ atau $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S = S^T \cdot A \cdot S$ .

Dalam basis koordinat baru $\xi = S^T x$ dan $\mu = S^T b$ , permukaan kuadrat memiliki bentuk diagonal:

Q = \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n : \xi^T S^T A S \xi + b^T S \xi + c = 0 \right\}

Dalam basis ortonormal vektor eigen, bentuk kuadrat memiliki struktur diagonal. Transformasi ini disebut transformasi sumbu utama karena sumbu koordinat baru sejajar dengan arah vektor eigen matriks.