Transformasi Sumbu Utama

Bentuk Kuadrat dengan Matriks Simetris

Ketika persamaan kuadrat memuat suku silang, arah sumbu utama tidak dapat ditentukan hanya dari koefisien setiap suku kuadrat. Bentuk kuadrat menempatkan semua koefisien tersebut dalam matriks simetris. Vektor eigen matriks itu menentukan $arah sumbu utama$ . Dalam dua dimensi, misalkan

A = \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix}

Karena $A$ real dan simetris, matriks tersebut memiliki nilai eigen real $\lambda_1,\lambda_2$ serta basis eigen ortonormal $v_1,v_2$ . Susun vektor eigen itu menjadi $S=(v_1\quad v_2)$ . Maka $S^TS=I$ dan $S^TAS=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)$ .

Untuk persamaan $x^TAx+p^Tx+f=0$ , gunakan koordinat hasil rotasi $\xi=S^Tx$ dan koefisien linear hasil rotasi $(\delta,\epsilon)^T=S^Tp$ . Suku silang pun hilang:

\lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + \delta \xi_1 + \epsilon \xi_2 + f = 0

Proses Melengkapkan Kuadrat

Untuk kedua variabel dengan $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0$ , proses melengkapkan kuadrat dilakukan secara terpisah:

Beri nama pada isi kurung pelengkapan kuadrat agar $suku yang ditambah dan dikurangi$ tetap terlihat:

B_1=\xi_1^2+2\frac\delta{2\lambda_1}\xi_1 +\frac{\delta^2}{4\lambda_1^2}

Setelah suku-sukunya dikumpulkan, kita memperoleh

\begin{aligned} 0 &= \lambda_1 \left( \xi_1 + \frac{\delta}{2\lambda_1} \right)^2 \\ &\quad{}+ \lambda_2 \left( \xi_2 + \frac{\epsilon}{2\lambda_2} \right)^2 \\ &\quad{}+ \left( f - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} - \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} \right) \end{aligned}

Definisikan pusat dalam koordinat hasil rotasi dan konstanta setelah translasi sebagai

(m_1,m_2)=\left(-\frac{\delta}{2\lambda_1},-\frac{\epsilon}{2\lambda_2}\right)

Dengan demikian,

\begin{aligned} &\lambda_1 (\xi_1 - m_1)^2 + \lambda_2 (\xi_2 - m_2)^2 - \gamma \\ &= 0 \end{aligned}

Tanda $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , dan $\gamma$ menentukan apakah himpunan solusi realnya berupa elips, hiperbola, parabola, irisan kerucut degenerat, atau himpunan kosong. Dua kasus berikut mengasumsikan $\gamma>0$ .

Klasifikasi Kurva

Dengan $konstanta setelah translasi positif$ $\gamma$ , dua nilai eigen positif memberikan elips, sedangkan nilai eigen berlawanan tanda memberikan hiperbola. Jika salah satu nilai eigen nol, periksa suku linear yang tersisa: parabola terbentuk hanya ketika koefisien suku linear itu tidak nol.

Kedua Nilai Eigen Positif

Jika $\lambda_1 > 0$ dan $\lambda_2 > 0$ , maka irisan kerucut yang terbentuk adalah $elips$ :

\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} + \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1

Panjang semisumbunya adalah $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ dalam arah $v_1$ dan $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_2}}$ dalam arah $v_2$ .

Visualisasi Elips dalam Koordinat

\xi_1, \xi_2

Kurva elips dengan kedua nilai eigen positif dan sumbu utama sesuai arah vektor eigen.

$x$: $[-4; 4]$
$y$: $[-4; 4]$

Nilai Eigen Berlawanan Tanda

Ketika $\lambda_1 > 0$ dan $\lambda_2 < 0$ , irisan kerucut yang terbentuk adalah $hiperbola$ :

\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} - \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1

Panjang semisumbunya adalah $r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$ dalam arah $v_1$ dan $r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{-\lambda_2}}$ dalam arah $v_2$ .

Visualisasi Hiperbola dalam Koordinat

\xi_1, \xi_2

Kurva hiperbola dengan sumbu utama sesuai arah vektor eigen dan pusat transformasi.

$x$: $[-4; 4]$
$y$: $[-4{,}24; 4{,}24]$

Salah Satu Nilai Eigen Nol

Kasus khusus terjadi ketika $\lambda_1\neq0$ , $\lambda_2=0$ , dan $\epsilon\neq0$ . Melengkapkan kuadrat memberikan

Beri nama isi kurung pelengkapan kuadrat yang sama agar suku yang ditambah dan dikurangi saling menghapus secara terpisah:

B_1=\xi_1^2+2\frac\delta{2\lambda_1}\xi_1 +\frac{\delta^2}{4\lambda_1^2}

Karena nilai eigen kedua nol, kita hanya melengkapkan kuadrat pertama. Definisikan:

m_1=-\frac{\delta}{2\lambda_1},\qquad \gamma=\frac{\delta^2}{4\lambda_1}-f

Menyelesaikan persamaan terhadap $\xi_2$ menghasilkan $bentuk baku parabola$ :

\xi_2 = -\frac{\lambda_1}{\epsilon} (\xi_1 - m_1)^2 + \frac{\gamma}{\epsilon}

Visualisasi Parabola dalam Koordinat

\xi_1, \xi_2

Kurva parabola dengan satu nilai eigen nol dan transformasi sumbu koordinat sesuai vektor eigen.

$x$: $[-3{,}5; 3{,}5]$
$y$: $[-1; 4]$

Merotasi dan Mentranslasi Irisan Kerucut Dua Dimensi

Perhatikan persamaan

5x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2-6x_1-9=0

Pasangan eigennya adalah

\begin{aligned} &\lambda_1=6, \\ &v_1=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, \\ &\lambda_2=1, \\ &v_2=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix} \end{aligned}

$Pusat dalam koordinat semula$ adalah $h=(1,-1)^T$ karena $2Ah+p=0$ . Dalam koordinat hasil rotasi, $m=S^Th=(1/\sqrt5,-3/\sqrt5)^T$ . Dengan $\eta=\xi-m$ , persamaannya menjadi

6\eta_1^2+\eta_2^2=12

Kurva tersebut adalah elips yang berpusat di $(1,-1)$ . Panjang setengah sumbunya adalah $\sqrt2$ sepanjang $v_1$ dan $2\sqrt3$ sepanjang $v_2$ . Substitusi titik pusat ke persamaan semula menghasilkan $-12$ , sesuai dengan ruas kanan setelah translasi.

Permukaan Kuadrat dan Transformasi

Untuk matriks simetris $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , vektor $b \in \mathbb{R}^n$ , dan skalar $c \in \mathbb{R}$ , $permukaan kuadrat$ $Q$ didefinisikan sebagai himpunan solusi persamaan kuadrat umum:

x^T A x + b^T x + c = 0

Jika persamaan yang sama dituliskan per entri, kita memperoleh:

\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n x_ja_{jk}x_k +\sum_{j=1}^n b_jx_j+c=0

Jika $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ simetris dan $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$ adalah basis ortonormal vektor eigen dengan $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ , maka matriks ortonormal $S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n)$ mendiagonalkan $A$ melalui $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ atau $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S = S^T \cdot A \cdot S$ .

Dalam koordinat yang diputar $\xi=S^Tx$ , tuliskan $\mu=S^Tb$ . Koordinat $\xi\in\mathbb R^n$ titik-titik pada $Q$ memenuhi:

\xi^T S^T A S \xi + b^T S \xi + c = 0

Dengan mendiagonalkan $A$ , kita memperoleh:

\xi^T\Lambda\xi+\mu^T\xi+c=0

Jika dituliskan per entri:

\sum_{j=1}^n\lambda_j\xi_j^2 +\sum_{j=1}^n\mu_j\xi_j+c=0

Kelompokkan suku-sukunya dan pindahkan $c$ ke ruas kanan:

\sum_{j=1}^n (\lambda_j \xi_j^2 + \mu_j \xi_j) = -c

Dalam basis ortonormal vektor eigen, bentuk kuadrat memiliki struktur diagonal. Transformasi ini disebut $transformasi sumbu utama$ karena sumbu koordinat baru $sejajar dengan arah vektor eigen matriks$ .