Penentuan Resultan Vektor dengan Rumus Kosinus

Saat Dua Vektor Membentuk Sudut

Jika dua vektor searah, resultannya tinggal dijumlahkan. Jika berlawanan arah, resultannya tinggal dikurangkan. Namun, banyak gaya atau perpindahan membentuk sudut di antara keduanya. Pada kondisi ini, besar resultan dapat dicari dengan rumus kosinus.

Rumus ini dipakai ketika dua vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ diketahui besarnya, serta sudut apit $\theta$ di antara keduanya diketahui.

R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos\theta}

Sudut $\theta$ pada rumus kosinus adalah sudut antara dua vektor ketika pangkalnya dibuat berimpit.

Kosinus dalam Rumus Segitiga

Rumus kosinus muncul karena resultan dua vektor membentuk segitiga dengan dua sisi yang diketahui. Jika sudut antara kedua vektor kecil, kedua vektor saling menguatkan lebih besar. Jika sudutnya mendekati $180^\circ$ , keduanya makin saling meniadakan.

Tabel berikut menunjukkan hubungan antara sudut $\theta$ dan nilai $\cos\theta$ :

Sudut apit	Nilai $\cos\theta$	Makna fisika
$0^\circ$	$1$	vektor searah dan saling menguatkan penuh
$90^\circ$	$0$	vektor saling tegak lurus
$180^\circ$	$-1$	vektor berlawanan arah

Ketika $\theta=90^\circ$ , rumus kosinus berubah menjadi bentuk Pythagoras karena $\cos90^\circ=0$ .

Contoh Menghitung Resultan Gaya

Dua gaya bekerja pada satu titik. Gaya pertama sebesar $10\text{ N}$ , gaya kedua sebesar $8\text{ N}$ , dan sudut di antara keduanya $60^\circ$ . Tentukan besar resultannya.

Gunakan rumus:

\begin{aligned} R&=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos\theta} \\ &=\sqrt{10^2+8^2+2(10)(8)\cos60^\circ} \\ &=\sqrt{100+64+160(0{,}5)} \\ &=\sqrt{244} \\ &\approx15{,}6\text{ N} \end{aligned}

Resultannya lebih kecil dari $18\text{ N}$ karena kedua gaya tidak searah penuh, tetapi lebih besar dari tiap gaya tunggal karena keduanya masih memiliki arah yang cukup berdekatan.

Memeriksa Jawaban dengan Kasus Batas

Kasus batas membantu mengecek apakah hasil masuk akal. Jika sudutnya $0^\circ$ , rumus harus memberi $A+B$ .

\begin{aligned} R &=\sqrt{A^2+B^2+2AB} \\ &=\sqrt{(A+B)^2} \\ &=A+B \end{aligned}

Jika sudutnya $180^\circ$ , rumus harus memberi selisih besar vektor.

\begin{aligned} R &=\sqrt{A^2+B^2-2AB} \\ &=\sqrt{(A-B)^2} \\ &=\lvert A-B\rvert \end{aligned}

Pengecekan ini menghubungkan rumus kosinus dengan kasus vektor searah, berlawanan arah, dan tegak lurus.

Pemakaian Rumus Kosinus yang Tepat

Pakai rumus kosinus ketika:

hanya ada dua vektor
besar kedua vektor diketahui
sudut apit kedua vektor diketahui
yang ditanya adalah besar resultan

Jika vektornya lebih dari dua, uraikan setiap vektor menjadi komponen koordinat, lalu jumlahkan semua komponen $x$ dan $y$ . Rumus kosinus dapat langsung dipakai jika besar dua vektor dan sudut apitnya diketahui.