Perkalian Vektor

Dua Jenis Perkalian Vektor

Perkalian vektor tidak selalu menghasilkan vektor. Ada dua jenis perkalian yang sering dipakai dalam fisika: perkalian titik dan perkalian silang.

Perkalian titik menghasilkan skalar. Perkalian silang menghasilkan vektor baru yang arahnya tegak lurus terhadap dua vektor awal.

Jenis perkalian	Lambang	Hasil	Contoh fisika
perkalian titik	$\vec{A}\cdot\vec{B}$	skalar	usaha
perkalian silang	$\vec{A}\times\vec{B}$	vektor	momen gaya

Tanda perkalian berbeda karena pertanyaan fisikanya berbeda: seberapa besar bagian yang searah, atau seberapa kuat efek memutar.

Perkalian Titik Mengukur Bagian yang Searah

Perkalian titik antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ didefinisikan sebagai:

\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta

Sudut $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor. Hasilnya skalar karena hanya menyatakan nilai, bukan arah.

Dalam fisika, usaha oleh gaya dapat ditulis:

W=\vec{F}\cdot\vec{s}=Fs\cos\theta

Artinya, hanya komponen gaya yang searah perpindahan yang benar-benar melakukan usaha.

Contoh Usaha dengan Perkalian Titik

Seseorang menarik kotak dengan gaya $40\text{ N}$ sehingga kotak berpindah $5\text{ m}$ . Gaya membentuk sudut $60^\circ$ terhadap arah perpindahan. Usahanya:

\begin{aligned} W&=Fs\cos\theta \\ &=40(5)\cos60^\circ \\ &=200(0{,}5) \\ &=100\text{ J} \end{aligned}

Jika gaya tegak lurus terhadap perpindahan, $\theta=90^\circ$ dan $\cos90^\circ=0$ . Pada kondisi itu, gaya tidak melakukan usaha pada arah perpindahan.

Artinya, perkalian titik memilih bagian gaya yang benar-benar searah dengan perpindahan. Komponen gaya yang hanya menekan ke atas atau ke bawah tidak menambah usaha sepanjang arah gerak kotak.

Perkalian Silang Mengukur Efek Memutar

Perkalian silang antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ memiliki besar:

\lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert=AB\sin\theta

Hasilnya berupa vektor yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang memuat $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Arah ini ditentukan dengan aturan tangan kanan.

Arah

\vec{A}\times\vec{B}

Vektor

\vec{A}

dan

\vec{B}

berada pada satu bidang. Hasil kali silangnya keluar tegak lurus dari bidang itu.

Pada visual ini, $\vec{A}$ mengarah ke sumbu $x$ positif dan $\vec{B}$ mengarah ke sumbu $y$ positif. Rumus perkalian silang memberi arah $z$ positif untuk $\vec{A}\times\vec{B}$ . Panah biru diperkecil agar muat di layar, tetapi arahnya tetap mengikuti hasil perhitungan.

Dalam momen gaya, perkalian silang ditulis:

\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}

Vektor $\vec{r}$ adalah lengan gaya dari sumbu putar ke titik gaya bekerja. Gaya yang diberikan jauh dari engsel pintu menghasilkan momen lebih besar daripada gaya yang sama tepat di dekat engsel.

Contoh Momen Gaya

Sebuah pintu didorong dengan gaya $30\text{ N}$ pada jarak $0{,}8\text{ m}$ dari engsel. Arah gaya tegak lurus terhadap pintu, sehingga $\theta=90^\circ$ .

\begin{aligned} \tau&=rF\sin\theta \\ &=0{,}8(30)\sin90^\circ \\ &=24\text{ N m} \end{aligned}

Jika gaya diberikan dengan sudut lebih kecil, nilai $\sin\theta$ juga lebih kecil. Itulah sebabnya mendorong pintu tegak lurus biasanya lebih efektif daripada mendorongnya hampir sejajar permukaan pintu.

Membandingkan Titik dan Silang

Perbedaan utama dapat dilihat dari sudutnya. Perkalian titik paling besar saat dua vektor searah karena $\cos0^\circ=1$ . Perkalian silang justru nol saat dua vektor searah karena $\sin0^\circ=0$ .

Kondisi sudut	$\vec{A}\cdot\vec{B}$	$\lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert$
$0^\circ$	maksimum	nol
$90^\circ$	nol	maksimum
$180^\circ$	bernilai negatif	nol

Jadi, perkalian titik cocok untuk menanyakan kesearahan, sedangkan perkalian silang cocok untuk menanyakan efek tegak lurus seperti putaran.