Perkalian Vektor

Dua Jenis Perkalian Vektor

Perkalian vektor tidak selalu menghasilkan vektor. Ada dua jenis perkalian yang sering dipakai dalam fisika: $perkalian titik$ dan $perkalian silang$ .

Perkalian titik menghasilkan skalar. Perkalian silang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor awal. Jika hasilnya bukan vektor nol, arahnya mengikuti $aturan tangan kanan$ .

Jenis perkalian	Lambang	Hasil	Contoh fisika
perkalian titik	$\vec{A}\cdot\vec{B}$	skalar	usaha
perkalian silang	$\vec{A}\times\vec{B}$	vektor	momen gaya

Tanda perkalian berbeda karena pertanyaan fisikanya berbeda: seberapa besar bagian yang searah, atau seberapa kuat efek memutar.

Perkalian Titik Mengukur Bagian yang Searah

Perkalian titik antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ didefinisikan sebagai:

\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta

Untuk dua vektor bukan nol, $\theta$ adalah sudut antara keduanya, sedangkan $A$ dan $B$ adalah besar vektor. Hasilnya berupa skalar, sehingga memiliki nilai tanpa arah.

Untuk $gaya konstan$ selama perpindahan, usaha oleh gaya tersebut adalah:

W=\vec{F}\cdot\vec{s}=Fs\cos\theta

Komponen gaya $sepanjang sumbu perpindahan$ menentukan usaha. Komponen ini positif jika searah gerak dan negatif jika berlawanan arah.

Contoh Usaha dengan Perkalian Titik

Seseorang menarik kotak dengan gaya konstan $40\text{ N}$ sehingga kotak berpindah $5\text{ m}$ . Gaya membentuk sudut $60^\circ$ terhadap arah perpindahan. Usahanya:

\begin{aligned} W&=Fs\cos\theta \\ &=40(5)\cos60^\circ \\ &=200(0{,}5) \\ &=100\text{ J} \end{aligned}

Jika gaya tegak lurus terhadap perpindahan, $\theta=90^\circ$ dan $\cos90^\circ=0$ . Pada kondisi itu, gaya tidak melakukan usaha pada arah perpindahan.

Jika gaya konstan yang sama melawan perpindahan, sudutnya $180^\circ$ . $Usaha negatif$ menunjukkan gaya mengambil energi dari gerak benda:

W=40(5)\cos180^\circ=200(-1)=-200\text{ J}

Perkalian Silang Mengukur Efek Memutar

Perkalian silang antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ memiliki besar:

\lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert=AB\sin\theta

Untuk dua vektor bukan nol dan tidak sejajar, hasilnya berupa vektor yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang memuat $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ . Arah ini ditentukan dengan $aturan tangan kanan$ : lengkungkan jari dari vektor pertama menuju vektor kedua melalui sudut terkecil. Ibu jari menunjukkan arah hasil. Jika vektor sejajar atau salah satunya nol, hasilnya vektor nol tanpa arah tertentu.

Arah

\vec{A}\times\vec{B}

Vektor

\vec{A}

dan

\vec{B}

berada pada satu bidang. Hasil kali silangnya keluar tegak lurus dari bidang itu.

Pada visual ini, $\vec{A}$ mengarah ke sumbu $x$ positif dan $\vec{B}$ mengarah ke sumbu $y$ positif. Rumus perkalian silang memberi arah $z$ positif untuk $\vec{A}\times\vec{B}$ . Kedua vektor dalam model tidak memiliki satuan. Hitung komponennya: dua komponen pertama nol dan komponen ketiga adalah $4\cdot3$ . Panah hasil memiliki panjang $12$ satuan. Putar model untuk membandingkan panah hasil dengan bidang kedua vektor awal.

\begin{aligned} C_x&=0\cdot0-0\cdot3=0 \\ C_y&=0\cdot0-4\cdot0=0 \\ C_z&=4\cdot3-0\cdot0=12 \\ \vec{A}\times\vec{B}&=(C_x,C_y,C_z)=(0,0,12) \end{aligned}

Dalam momen gaya, perkalian silang ditulis:

\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}

Vektor $\vec{r}$ adalah vektor posisi dari titik acuan pada engsel ke titik kerja gaya. Panjang lengan momen yang tegak lurus adalah $r\sin\theta$ . Pada sudut yang sama, gaya yang bekerja lebih jauh dari engsel pintu menghasilkan momen gaya yang lebih besar.

Contoh Momen Gaya

Ambil titik acuan pada engsel yang setinggi titik dorong. Sebuah pintu didorong horizontal dengan gaya $30\text{ N}$ pada jarak $0{,}8\text{ m}$ dari engsel. Arah gaya $tegak lurus terhadap pintu$ , sehingga $\theta=90^\circ$ .

\begin{aligned} \tau&=rF\sin\theta \\ &=0{,}8(30)\sin90^\circ \\ &=24\text{ N m} \end{aligned}

Jika $r$ dan $F$ tetap, gaya tegak lurus menghasilkan torsi maksimum karena $\sin90^\circ=1$ . Gaya yang hampir sejajar dengan vektor posisi $\vec{r}$ menghasilkan torsi kecil karena faktor sinusnya mendekati nol.

Membandingkan Titik dan Silang

Bandingkan hasil kedua operasi dengan $besar kedua vektor tetap dan bukan nol$ . Perkalian titik paling besar saat dua vektor searah karena $\cos0^\circ=1$ . Perkalian silang justru nol saat dua vektor searah karena $\sin0^\circ=0$ .

Kondisi sudut	$\vec{A}\cdot\vec{B}$	$\lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert$
$0^\circ$	maksimum	nol
$90^\circ$	nol	maksimum
$180^\circ$	bernilai negatif	nol

Jadi, perkalian titik cocok untuk menanyakan kesearahan, sedangkan perkalian silang cocok untuk menanyakan efek tegak lurus seperti putaran.