Jacob Bernoulli, yang juga dikenal sebagai James atau Jacques, adalah salah satu matematikawan terkemuka dari keluarga Bernoulli. Dia adalah pelopor pertama dalam analisis Leibnizian dan mendukung Leibniz dalam perdebatan kalkulus melawan Newton.
Jacob Bernoulli terkenal karena banyak kontribusinya untuk kalkulus. Dia adalah salah satu pendiri kalkulus variasi dan mengusulkan versi pertama dari hukum bilangan besar dalam bukunya "Ars Conjectandi" yang diterbitkan pada tahun 1713. Salah satu pembahasan penting dalam buku tersebut adalah mengenai percobaan binomial.
Distribusi binomial itu sebenarnya konsep yang cukup sederhana kalau kita pahami dari dasarnya. Bayangkan kamu sedang melakukan percobaan yang hanya punya dua kemungkinan hasil: berhasil atau gagal. Contohnya seperti melempar koin yang hanya bisa menghasilkan angka atau gambar.
Distribusi binomial digunakan ketika kita melakukan percobaan yang sama berulang kali dengan kondisi yang tetap sama. Yang penting, setiap percobaan bersifat independen (tidak saling mempengaruhi) - artinya hasil percobaan sebelumnya tidak mempengaruhi percobaan berikutnya.
Syarat-syarat percobaan binomial:
Hanya ada dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal
Jika ada percobaan binomial dengan peluang berhasil p dan peluang gagal q=1−p, maka rumus untuk menghitung peluang mendapatkan tepat x keberhasilan dalam n percobaan independen adalah:
b(x;n,p)=(xn)pxqn−x untukx=0,1,2,...,n
Keterangan:
n = jumlah percobaan yang dilakukan
x = jumlah keberhasilan yang kita inginkan
p = peluang berhasil dalam satu percobaan
q=1−p = peluang gagal dalam satu percobaan
Jadi, untuk menggunakan rumus ini, pastikan dulu percobaan yang kita hadapi memenuhi syarat-syarat binomial yang sudah disebutkan tadi.
Mari kita lihat contoh sederhana. Misalkan kita punya koin yang seimbang. Kita sebut angka sebagai "A" dan gambar sebagai "G", jadi ruang sampelnya S={A,G}.
Kalau kita anggap mendapatkan gambar sebagai "berhasil", maka peluang berhasilnya p=21. Otomatis, peluang gagal (mendapatkan angka) adalah q=1−21=21.
Soal: Jika kita melempar koin ini 7 kali berturut-turut, berapa peluang mendapatkan gambar sebanyak 5 kali?
Penyelesaian:
Kita identifikasi dulu parameternya:
n=7 (jumlah lemparan)
x=5 (jumlah gambar yang diinginkan)
p=21 (peluang mendapatkan gambar)
q=21 (peluang mendapatkan angka)
Sekarang kita gunakan rumus distribusi binomial:
b(5;7,21)=(57)(21)5(21)7−5
=(57)(21)5(21)2
=(57)(21)7
Mari kita hitung (57) terlebih dahulu:
(57)=5!(7−5)!7!=5!⋅2!7!
=5!×2×17×6×5!=27×6=242=21
Jadi perhitungan lengkapnya:
b(5;7,21)=21×271=21×1281=12821
Jadi, peluang mendapatkan 5 gambar dalam 7 kali lemparan adalah 12821 atau sekitar 16,4%.
Di sebuah kantong ada 10 bola yang sama persis, kecuali warnanya: 6 bola merah dan 4 bola biru. Kalau kita ambil 5 bola satu per satu dengan pengembalian (setiap bola yang diambil dikembalikan lagi), berapa peluang terambilnya tepat 3 bola merah?
Seorang pemanah punya tingkat akurasi 80% untuk mengenai target. Kalau dia memanah 6 kali, berapa peluang dia mengenai target tepat 4 kali?
Ada ujian pilihan ganda dengan 4 pilihan jawaban di setiap soal. Seorang siswa menebak semua jawaban secara acak untuk 8 soal. Berapa peluang dia menjawab benar tepat 2 soal?
