Bayangkan kamu adalah seorang pemain basket. Secara rata-rata, dari 10 kali lemparan bebas, kamu berhasil memasukkan bola sebanyak 8 kali. Nah, angka 8 ini bisa kita sebut sebagai nilai harapan atau ekspektasi keberhasilanmu.
Secara sederhana, nilai harapan adalah nilai rata-rata yang kita harapkan terjadi dari sebuah percobaan jika percobaan itu diulang berkali-kali dalam kondisi yang sama. Ini bukan berarti kamu akan mendapatkan hasil itu setiap kali, tapi ini adalah prediksi rata-rata jangka panjangnya.
Konsep ini sangat berguna dalam distribusi binomial. Ingat, distribusi binomial dipakai untuk percobaan yang hasilnya hanya ada dua (sukses atau gagal) dan dilakukan berulang-ulang. Nilai harapan binomial membantu kita memprediksi berapa banyak keberhasilan yang paling mungkin kita dapatkan.
Distribusi binomial b(x;n,p) memiliki nilai harapan:
E(X)=np
dengan n adalah banyaknya percobaan dan p adalah peluang keberhasilan.
Rumus ini sangat intuitif. Jika peluang sukses dalam satu kali coba adalah p, maka dalam n kali percobaan, harapan suksesnya adalah:
Mungkin kamu penasaran, kenapa rumusnya sesederhana itu? Mari kita bedah logikanya.
Setiap percobaan dalam distribusi binomial bisa kita anggap sebagai variabel acak kecil, sebut saja Ik. Variabel ini bernilai 1 jika percobaan ke-ksukses, dan 0 jika gagal.
Nilai harapan untuk satu percobaan tunggal adalah:
E(Ik)=1⋅p+0⋅q=p
Karena jumlah total keberhasilan (X) adalah jumlah dari semua keberhasilan di setiap percobaan, maka:
X=I1+I2+...+In
Dengan menggunakan sifat nilai harapan, kita bisa menjumlahkan semua nilai harapan dari setiap percobaan:
E(X)=E(I1)+E(I2)+...+E(In)
E(X)=n kalip+p+...+p=np
Terbukti, kan? Nilai harapan totalnya adalah hasil kali dari jumlah percobaan dengan peluang keberhasilannya.
Sebuah dadu seimbang dilempar sebanyak 7 kali. Berapa nilai harapan untuk munculnya mata dadu lima dari seluruh lemparan tersebut?
Penyelesaian:
Pertama, mari kita pastikan bahwa ini memenuhi syarat distribusi binomial:
Hanya ada dua kemungkinan: sukses (keluar angka 5) atau gagal (keluar angka selain 5)
Jumlah percobaan tetap: 7 kali
Setiap lemparan independen: hasil lemparan sebelumnya tidak mempengaruhi lemparan berikutnya
Peluang sukses sama: p=61 di setiap lemparan
Sekarang kita identifikasi parameternya:
S={1,2,3,4,5,6}
p=61
n=7
Sekarang kita bisa langsung hitung nilai harapannya menggunakan rumus:
E(X)=np=7×61=67=1.167
Jadi, apa artinya angka 1.167 ini?
Nilai harapan 1.167 bukan berarti kamu akan mendapat 1.167 kali angka 5 dalam satu eksperimen (karena itu tidak mungkin). Yang dimaksud adalah: jika kamu mengulangi eksperimen lempar dadu 7 kali ini ratusan atau ribuan kali, maka rata-rata kamu akan mendapat angka 5 sekitar 1.167 kali per set 7 lemparan.
Dalam praktiknya, dalam satu set 7 lemparan, kamu mungkin mendapat angka 5 sebanyak 0, 1, 2, atau bahkan 3 kali. Tapi kalau dirata-ratakan dalam jangka panjang, hasilnya akan mendekati 1.167.
