Nilai Harapan Distribusi Binomial

Rata-rata Banyaknya Keberhasilan dalam Percobaan Berulang

Misalkan setiap lemparan bebas masuk secara independen dengan peluang $p=0{,}8$ , dan $X$ menyatakan banyaknya bola yang masuk dalam $n=10$ percobaan. Maka $E(X)=8$ : jika set berisi sepuluh lemparan diulang berkali-kali, rata-rata banyaknya bola yang masuk mendekati $8$ .

Nilai harapan adalah rata-rata berbobot peluang dari suatu variabel acak. Nilai ini menggambarkan rata-rata setelah percobaan diulang berkali-kali. Satu set percobaan dapat memberi hasil yang berbeda. Nilai harapan juga dapat berupa bilangan nonbulat meskipun variabel acaknya hanya bernilai bilangan bulat.

Rumus Harapan untuk Binomial

Variabel acak binomial menghitung banyaknya keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen yang tetap, dengan peluang keberhasilan yang sama pada setiap percobaan. Nilai harapannya menyatakan rata-rata jangka panjang banyaknya keberhasilan. Nilai ini tidak harus sama dengan banyaknya keberhasilan yang paling mungkin, karena hal itu dijelaskan oleh modus.

Distribusi binomial $b_{n,p}(x)$ memiliki nilai harapan:

E(X) = np

Pada rumus ini, $n$ adalah banyaknya percobaan dan $p$ adalah peluang keberhasilan pada setiap percobaan.

Jika peluang keberhasilan pada setiap percobaan adalah $p$ , maka nilai harapan banyaknya keberhasilan dalam $n$ percobaan adalah:

E(X) = n \times p

Penurunan Rumus Nilai Harapan

Rumus tersebut diperoleh dengan menyatakan setiap percobaan sebagai variabel indikator.

Misalkan $I_k$ menyatakan percobaan ke- $k$ . Variabel ini bernilai $1$ jika percobaan tersebut berhasil dan $0$ jika gagal.

Nilai harapan untuk satu percobaan tunggal adalah:

E(I_k) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p

Karena jumlah total keberhasilan ( $X$ ) adalah jumlah dari semua keberhasilan di setiap percobaan, maka:

X = I_1 + I_2 + ... + I_n

Berdasarkan linearitas nilai harapan, semua nilai harapan tersebut dapat dijumlahkan:

E(X) = E(I_1) + E(I_2) + ... + E(I_n)

Jadi, nilai harapan banyaknya keberhasilan adalah hasil kali jumlah percobaan dengan peluang keberhasilan.

Studi Kasus Lempar Dadu

Soal:

Sebuah dadu seimbang dilempar sebanyak $7$ kali. Berapa nilai harapan untuk munculnya mata dadu lima dari seluruh lemparan tersebut?

Penyelesaian:

Pastikan dahulu percobaan ini memenuhi syarat binomial:

Hanya ada dua kemungkinan: sukses (keluar angka $5$ ) atau gagal (keluar angka selain $5$ )
Jumlah percobaan tetap: $7$ lemparan
Setiap lemparan independen: hasil lemparan sebelumnya tidak memengaruhi lemparan berikutnya
Peluang sukses sama: $p = \frac{1}{6}$ di setiap lemparan

Parameternya adalah:

S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Gunakan rumus nilai harapan:

E(X) = np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \approx 1{,}167

Jadi, apa arti angka $1{,}167$ ini?

Nilai harapan $1{,}167$ bukan berarti angka $5$ dapat muncul tepat $1{,}167$ kali dalam satu percobaan. Artinya, jika percobaan yang terdiri atas $7$ lemparan ini diulang ratusan atau ribuan kali, angka $5$ akan muncul rata-rata sekitar $1{,}167$ kali per set.

Dalam satu set $7$ lemparan, angka $5$ bisa muncul $0$ , $1$ , $2$ , atau bahkan $3$ kali. Namun, rata-rata jangka panjangnya akan mendekati $1{,}167$ .