Fungsi Massa Peluang Binomial

Kontribusi Jacob Bernoulli pada Teori Peluang

Ars Conjectandi karya Jacob Bernoulli diterbitkan setelah wafatnya pada $1713$. Buku tersebut mengembangkan hasil-hasil mendasar dalam peluang, termasuk hukum bilangan besar Bernoulli, serta membahas percobaan sukses-atau-gagal berulang yang kini memakai namanya.

Kombinasi dan Peluang Dasar

Sebelum masuk ke distribusi binomial, ada beberapa rumus dasar yang perlu kita pahami dulu.

Pertama, rumus kombinasi untuk memilih objek:

Kedua, faktorial (perkalian berurutan):

Berdasarkan definisi, $0!=1$.

Dan yang ketiga, hubungan peluang kejadian dan kebalikannya:

Dalam persamaan ini, $P(A)$ adalah peluang suatu kejadian terjadi dan $P(A^c)$ adalah peluang kejadian tersebut tidak terjadi.

Konsep Distribusi Binomial

Variabel acak binomial menghitung banyaknya keberhasilan dalam percobaan berulang. Setiap percobaan memiliki dua hasil yang saling lepas, misalnya angka atau gambar pada koin, dan label berhasil menunjukkan hasil yang sedang dihitung.

Model ini hanya berlaku jika jumlah percobaan tetap, setiap percobaan independen, dan peluang keberhasilannya konstan. Independen berarti hasil sebelumnya tidak mengubah peluang pada percobaan berikutnya.

Syarat-syarat percobaan binomial:

• Hanya ada dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal

• Jumlah percobaan sudah ditentukan dan tetap

• Setiap percobaan saling independen

• Peluang sukses sama untuk setiap percobaan

Fungsi Massa Peluang Binomial

Untuk percobaan binomial dengan peluang berhasil $p$ dan peluang gagal $q = 1-p$, fungsi massa peluang memberikan peluang tepat $x$ keberhasilan dalam $n$ percobaan independen:

Keterangan:

• $n$ = jumlah percobaan yang tetap

• $x$ = jumlah keberhasilan yang dihitung

• $p$ = peluang berhasil pada satu percobaan

• $q = 1-p$ = peluang gagal pada satu percobaan

Sebelum memakai rumus, periksa keempat syarat binomial. Jika salah satunya tidak terpenuhi, model ini mungkin tidak menggambarkan percobaan dengan tepat.

Percobaan Koin

Lihat contoh sederhana. Misalkan kita punya koin yang seimbang. Ruang sampelnya memuat sisi angka dan gambar:

Kalau kita anggap mendapatkan gambar sebagai "berhasil", maka peluang berhasilnya $p = \frac{1}{2}$. Otomatis, peluang gagal (mendapatkan angka) adalah $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Soal: Jika kita melempar koin ini $7$ kali berturut-turut, berapa peluang mendapatkan gambar sebanyak $5$ kali?

Penyelesaian:

Kita identifikasi dulu parameternya:

• $n = 7$ (jumlah lemparan)
• $x = 5$ (jumlah gambar yang diinginkan)
• $p = \frac{1}{2}$ (peluang mendapatkan gambar)
• $q = \frac{1}{2}$ (peluang mendapatkan angka)

Sekarang gunakan fungsi massa peluang binomial:

Hitung $\binom{7}{5}$ terlebih dahulu:

Jadi perhitungan lengkapnya:

Jadi, peluang mendapatkan $5$ gambar dalam $7$ lemparan adalah $\frac{21}{128}$ atau sekitar $16{,}4\%$.

Latihan

Setiap soal mengulang satu percobaan sebanyak jumlah tetap dan menanyakan banyak keberhasilan yang tepat, sehingga fungsi massa peluang binomial langsung dapat dipakai. Tentukan dulu banyak percobaan, peluang keberhasilan, dan banyak keberhasilan yang diminta sebelum menghitung.

1. Di sebuah kantong ada $10$ bola yang sama persis, kecuali warnanya: $6$ bola merah dan $4$ bola biru. Kalau kita ambil $5$ bola satu per satu dengan pengembalian (setiap bola yang diambil dikembalikan lagi), berapa peluang terambilnya tepat $3$ bola merah?

2. Seorang pemanah punya tingkat akurasi $80\%$ untuk mengenai target. Kalau dia melepaskan $6$ anak panah, berapa peluang dia mengenai target tepat $4$ kali?

3. Ada ujian pilihan ganda dengan $4$ pilihan jawaban di setiap soal. Seorang siswa menebak semua jawaban secara acak untuk $8$ soal. Berapa peluang dia menjawab benar tepat $2$ soal?

Kunci Jawaban

1. Jawaban Soal Bola Merah

   Langkah 1: Identifikasi parameter.

   • $n = 5$ (jumlah pengambilan)
   • $x = 3$ (jumlah bola merah yang diinginkan)
   • $p = \frac{6}{10} = 0{,}6$ (peluang terambil bola merah)
   • $q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ (peluang terambil bola biru)

   Langkah 2: Hitung menggunakan fungsi massa peluang binomial.

   $$P(X=3) = \binom{5}{3} (0{,}6)^3 (0{,}4)^2$$

   Mari hitung $\binom{5}{3}$ dulu:

   $$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

   Kemudian:

   $$= 10 \times (0{,}6)^3 \times (0{,}4)^2$$

   $$= 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 0{,}3456$$

   Jadi, peluang terambilnya tepat $3$ bola merah adalah $0{,}3456$ atau sekitar $34{,}6\%$.

2. Jawaban Soal Pemanah

   Langkah 1: Identifikasi parameter.

   • $n = 6$ (jumlah panahan)
   • $x = 4$ (jumlah target yang diinginkan)
   • $p = 0{,}8$ (peluang mengenai target)
   • $q = 0{,}2$ (peluang meleset)

   Langkah 2: Hitung menggunakan fungsi massa peluang binomial.

   $$P(X=4) = \binom{6}{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^2$$

   Mari hitung $\binom{6}{4}$ dulu:

   $$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

   Kemudian:

   $$= 15 \times (0{,}8)^4 \times (0{,}2)^2$$

   $$\begin{aligned} &= 15 \times 0{,}4096 \times 0{,}04 \\ &= 0{,}24576 \\ &\approx 0{,}2458 \end{aligned}$$

   Jadi, peluang pemanah mengenai target tepat $4$ kali adalah $0{,}2458$ atau sekitar $24{,}6\%$.

3. Jawaban Soal Ujian Pilihan Ganda

   Langkah 1: Identifikasi parameter.

   • $n = 8$ (jumlah soal)
   • $x = 2$ (jumlah jawaban benar yang diinginkan)
   • $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$ (peluang menjawab benar dengan menebak)
   • $q = \frac{3}{4} = 0{,}75$ (peluang menjawab salah)

   Langkah 2: Hitung menggunakan fungsi massa peluang binomial.

   $$P(X=2) = \binom{8}{2} (0{,}25)^2 (0{,}75)^6$$

   Mari hitung $\binom{8}{2}$ dulu:

   $$\binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

   Kemudian:

   $$= 28 \times (0{,}25)^2 \times (0{,}75)^6$$

   $$\begin{aligned} &= 28 \times 0{,}0625 \times 0{,}177978515625 \\ &= 0{,}31146240234375 \approx 0{,}3115\end{aligned}$$

   Jadi, peluang siswa menjawab benar tepat $2$ soal adalah sekitar $0{,}3115$, atau $31{,}15\%$.