Barisan Geometri

Mengalikan Suku Sebelumnya dengan Rasio Tetap

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku berurutan. Rasio ini dilambangkan dengan huruf $r$.

Jika kita memiliki barisan geometri $U_1, U_2, U_3, ..., U_n$, maka:

Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio $r$. Bentuk pembagian di atas memerlukan penyebut yang tidak nol, tetapi aturan perkalian tetap berlaku ketika suatu suku bernilai nol:

Eksplorasi Melipat Kertas

Model lipatan sederhana memperlihatkan rasio tetap dengan jelas. Lipat selembar kertas persegi panjang menjadi dua beberapa kali.

Jika kertas dilipat $1 \text{ kali}$, maka kertas akan terbagi menjadi $2 \text{ bagian}$ sama besar. Jika dilipat lagi ($2 \text{ kali}$), akan terbentuk $4 \text{ bagian}$ sama besar. Berikut pola yang terbentuk:

Perhatikan bahwa banyaknya bagian yang terbentuk membentuk barisan bilangan: $2, 4, 8, 16, \ldots$

Dalam barisan ini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan $2$, sehingga rasionya adalah $2$.

Rumus Umum Barisan Geometri

Pada rumus ini:

• $U_n$ = suku umum
• $a$ = suku pertama
• $r$ = rasio
• $n$ = nomor suku

Eksponennya adalah $n-1$ karena perpindahan dari suku pertama ke suku ke-$n$ memerlukan tepat $n-1$ kali perkalian dengan $r$.

Makna Nilai Rasio

Untuk suku pertama yang positif, rasio menentukan perilaku barisan secara umum:

• Jika $r>1$, suku-suku positifnya bertambah.
• Jika $0<r<1$, suku-suku positifnya mendekati nol.
• Jika $r=1$, barisannya konstan.
• Jika $r=0$, semua suku setelah suku pertama bernilai nol.
• Jika $r<0$, tanda suku berganti-ganti, sedangkan nilai mutlaknya dapat bertambah, berkurang, atau tetap.

Karena itu, barisan geometri tidak selalu menggambarkan pertumbuhan.

Model Ideal Pertumbuhan Bakteri

Misalkan jumlah bakteri dalam suatu kultur ideal menjadi tiga kali lipat setiap $2 \text{ jam}$. Angka $3$ menyatakan perubahan jumlah seluruh bakteri dalam kultur pada setiap selang waktu.

Jika jumlah awal bakteri adalah $2 \text{ sel}$, maka:

• Jumlah awal ($N_0$) $=2$
• Faktor pertumbuhan ($r$) $=3$

Dalam $20 \text{ jam}$, kultur melewati $10 \text{ interval pertumbuhan}$ karena $20 \div 2=10$.

Penomoran yang dimulai dari indeks $0$ memisahkan jumlah awal dari interval pertumbuhan pertama yang sudah selesai. Setelah $10$ interval:

Jadi, menurut model ideal ini, kultur tersebut berisi $118{.}098 \text{ sel bakteri}$ setelah $20 \text{ jam}$.

Rasio dan Suku Umum Barisan Geometri

Setiap langkah pada barisan geometri mengalikan dengan faktor yang sama. Membagi sebuah suku dengan suku sebelumnya mengembalikan faktor tersebut, dan satu nilai awal bersama satu faktor sudah cukup untuk menuliskan suku umumnya.

Rasio Barisan Geometri

Faktor $r$ pada barisan geometri selalu tetap. Jika suku sebelumnya tidak nol, faktor yang sama dapat dihitung dengan membagi suku berikutnya dengan suku sebelumnya:

Menentukan Suku Umum

Untuk mencari suku umum dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

Model Pertumbuhan dan Peluruhan dengan Rasio Tetap

Setiap proses berikut mengulang satu perkalian pada setiap langkah, sehingga rasio yang sama menggerakkan seluruh daftar:

1. Pertumbuhan populasi (seperti pada contoh bakteri)
2. Bunga majemuk dalam ekonomi
3. Peluruhan radioaktif dalam fisika
4. Pertumbuhan sel dalam biologi

Barisan geometri memodelkan pertumbuhan atau penurunan berulang hanya ketika rasio yang sama berlaku pada setiap langkah.

Selalu periksa apakah model dengan faktor tetap masuk akal untuk situasi dan rentang waktu yang dikaji. Populasi nyata pada akhirnya menghadapi batas yang tidak dimuat dalam model sederhana ini.

Menentukan Rasio dan Suku yang Belum Diketahui

Kedua contoh memberi sebagian barisan geometri dan meminta nilai yang belum diketahui. Substitusi suku yang diketahui ke rumus suku umum, lalu selesaikan nilai yang dicari.

Mencari Rasio

Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah $4$ dan suku ke-$4$ adalah $108$. Tentukan rasio dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:

• $a = 4$ (suku pertama)
• $U_4 = 108$ (suku ke-$4$)

Dengan menggunakan rumus umum barisan geometri:

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $3$.

Panjang Potongan Tali

Seutas tali dibagi menjadi $5 \text{ bagian}$. Panjang positifnya, jika diurutkan dari yang terpendek ke yang terpanjang, membentuk barisan geometri. Potongan terpendek panjangnya $16 \text{ cm}$ dan potongan terpanjang $81 \text{ cm}$. Tentukan panjang potongan ketiga.

Penyelesaian:

Diketahui:

• $a = 16$ (tali paling pendek)
• $U_5 = 81$ (tali paling panjang)

Langkah pertama, menentukan rasio:

Kemudian, mencari panjang tali ketiga ($U_3$):

Jadi, panjang tali pada potongan ketiga adalah $36 \text{ cm}$.