Perbedaan Barisan Aritmetika dan Geometri

Pengertian Barisan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola tertentu. Dua jenis yang umum adalah barisan aritmetika dan barisan geometri. Barisan aritmetika menambah nilai tetap dari satu suku ke suku berikutnya, sedangkan barisan geometri mengalikan dengan nilai tetap, dan perbedaan itulah yang menentukan rumus yang berlaku.

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika berpindah dari satu suku ke suku berikutnya dengan menambahkan bilangan yang sama. Definisi di bawah menuliskan aturan itu, dan rumus suku umum memberi suku mana pun dari posisinya.

Pengertian Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih (beda) yang tetap antara dua suku berurutan.

Jika kita memiliki barisan $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$, maka barisan tersebut adalah barisan aritmetika jika selisih antara suku berurutan selalu sama:

Pada rumus tersebut, $b$ adalah beda tetap antarsuku.

Rumus Suku Umum Barisan Aritmetika

Untuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$, rumus suku umum adalah:

Barisan Geometri

Barisan geometri berpindah dari satu suku ke suku berikutnya dengan mengalikan bilangan yang sama. Rasio menjelaskan aturan itu, dan rumus suku umum memberi suku mana pun dari posisinya.

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) yang tetap antara dua suku berurutan.

Jika kita memiliki barisan $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$, maka barisan tersebut adalah barisan geometri jika rasio antara suku berurutan selalu sama:

Pada rumus tersebut, $r$ adalah rasio tetap. Jika penyebutnya nol, bentuk perbandingan tidak dapat digunakan, tetapi aturan perkalian yang setara $a_{n+1}=ra_n$ tetap bermakna.

Rumus Suku Umum Barisan Geometri

Untuk barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$, rumus suku umum adalah:

Perbandingan Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri

Kedua jenis barisan mengulang satu operasi, dan operasi yang diulang menentukan jenis barisan itu. Tabel dan contoh di bawah menunjukkan cara membedakan keduanya. Bandingkan kolom beda dan kolom rasio berdampingan, karena perbandingan itulah yang diminta saat mengklasifikasikan barisan.

Cara Mengenali Jenis Barisan

Untuk menentukan apakah suatu barisan adalah barisan aritmetika atau geometri:

1. Barisan Aritmetika: Hitung selisih antar suku berurutan. Jika selisihnya selalu sama, maka barisan tersebut adalah barisan aritmetika.

   $$\begin{aligned} b &= a_2 - a_1 \\ &= a_3 - a_2 \\ &= a_4 - a_3 \\ &= ... \end{aligned}$$

2. Barisan Geometri: Hitung rasio antar suku berurutan. Jika rasionya selalu sama, maka barisan tersebut adalah barisan geometri.

   $$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ...$$

Perbandingan Pola dan Rumus

Tabel menempatkan kedua jenis barisan berdampingan, sehingga kedua rumus bisa dibandingkan baris demi baris.

Contoh Klasifikasi Bertahap

Barisan $7,11,15,19,\ldots$ memiliki beda yang konstan:

Selisih yang sama tersebut menunjukkan bahwa barisan itu merupakan barisan aritmetika. Barisan $5,10,20,40,\ldots$ memenuhi:

Setiap suku bernilai dua kali suku sebelumnya, sehingga barisan itu merupakan barisan geometri dengan $r=2$. Barisan $1,2,4,7,\ldots$ bukan barisan aritmetika maupun geometri karena bedanya $1,2,3$ tidak konstan dan rasionya juga berubah.

Model Linear dan Eksponensial

Barisan aritmetika yang tidak konstan bergantung secara linear pada indeksnya. Barisan geometri dengan rasio positif selain satu bergantung secara eksponensial pada indeksnya. Istilah linear dan eksponensial menjelaskan bentuk matematisnya. Pada situasi nyata, pola tersebut berlaku selama asumsi model masih terpenuhi.

Penambahan dengan jumlah yang sama setiap bulan membentuk model aritmetika. Kenaikan dengan persentase yang sama setiap bulan membentuk model geometri.

Kasus Khusus

Barisan nol konstan merupakan barisan aritmetika dengan $b=0$ dan juga memenuhi $a_{n+1}=ra_n$ untuk setiap rasio $r$. Barisan konstan tak nol merupakan barisan aritmetika dengan $b=0$ sekaligus barisan geometri dengan $r=1$.

Jadi, kategori aritmetika dan geometri beririsan pada kasus-kasus khusus tersebut.

Model Aritmetika dan Geometri

Setiap contoh di bawah memiliki nilai awal dan satu perubahan yang berulang. Contoh-contoh itu menyebut pola yang dipakai dan nilai $b$ atau $r$. Hitung beda atau rasionya sendiri lebih dulu, lalu bandingkan hasilmu dengan jawaban bertanda dan periksa apakah pola yang kamu temukan menghasilkan setiap suku.

Contoh Barisan Aritmetika

Setiap langkah menambahkan bilangan yang sama, sehingga beda $b$ tetap.

1. Tabungan Berkala: Seorang siswa menabung di koperasi sekolah dengan pola aritmetika. Bulan pertama menabung $\text{Rp}5{.}000$, bulan kedua $\text{Rp}7{.}000$, bulan ketiga $\text{Rp}9{.}000$, dan seterusnya. Dengan beda $\text{Rp}2{.}000$, besar setoran pada bulan ke-$10$ dapat dihitung menggunakan rumus barisan aritmetika.

2. Pertumbuhan Tanaman: Dalam model sederhana, tanaman bertambah tinggi $3 \text{ cm}$ setiap minggu dari tinggi awal $15 \text{ cm}$. Tinggi tanaman dalam model ini mengikuti barisan aritmetika.

Contoh Barisan Geometri

Setiap langkah mengalikan dengan bilangan yang sama, sehingga rasio $r$ tetap.

1. Investasi dengan Bunga Majemuk: Misalkan uang $\text{Rp}1{.}000{.}000$ memperoleh bunga $10\%$ yang dibukukan setiap tahun, tanpa setoran atau penarikan. Nilainya pada akhir setiap tahun membentuk barisan geometri dengan rasio $1{,}1$.

2. Model Pertumbuhan Populasi Ideal: Model populasi bakteri yang berlipat ganda setiap jam membentuk barisan geometri dengan rasio $2$. Populasi nyata pada akhirnya menghadapi batas yang tidak dimuat dalam model sederhana ini.

Latihan

Klasifikasikan setiap barisan dan tentukan $b$ atau $r$ jika memungkinkan. Uji selisihnya lebih dulu, lalu beralih ke rasio hanya jika selisihnya tidak tetap. Barisan yang tidak cocok dengan keduanya tetap perlu dijawab.

1. $18,12,6,0,\ldots$
2. $81,-27,9,-3,\ldots$
3. $2,4,8,14,\ldots$

Penyelesaian

Menguji beda lebih dulu, lalu rasio, memberi klasifikasi untuk setiap barisan.

1. Barisan pertama merupakan barisan aritmetika dengan $b=-6$.
2. Barisan kedua merupakan barisan geometri dengan $r=-1/3$.
3. Barisan ketiga bukan barisan aritmetika maupun geometri karena beda dan rasionya tidak konstan.