Perbedaan Barisan dan Deret

Barisan

Daftar bilangan berurutan yang mengikuti suatu aturan disebut barisan, dan setiap bilangan pada daftar itu disebut suku. Urutan suku berpengaruh karena menukar dua suku yang berdekatan mengubah pola yang terbentuk.

Suku dan Urutan pada Barisan

Aturan yang dipakai menentukan bilangan mana yang muncul dan bagaimana daftar itu berlanjut, sehingga dua aturan berbeda menghasilkan dua barisan yang berbeda, seperti pada dua daftar berikut.

• Barisan bilangan genap: $2, 4, 6, 8, \dots$
• Barisan kuadrat: $1, 4, 9, 16, \dots$

Pada kedua contoh itu, barisan mencatat setiap suku secara terpisah beserta aturan yang menghasilkan suku berikutnya.

Deret

Menjumlahkan suku-suku suatu barisan menghasilkan deret, dan deret itu ditulis sebagai bentuk penjumlahan. Jumlah parsial $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama, sehingga nilainya berubah ketika $n$ bertambah. Menjaga kedua gagasan itu tetap terpisah adalah hal yang diuji pada perbandingan di bawah.

Deret sebagai Penjumlahan

Deret menjumlahkan suku-suku suatu barisan, dan tanda tambah di antara suku menunjukkan penjumlahan itu. Penjumlahan berikut memakai dua barisan dari bagian sebelumnya.

• Deret bilangan genap: $2 + 4 + 6 + 8 + \dots$
• Deret kuadrat: $1 + 4 + 9 + 16 + \dots$

Jika suku-sukunya berhenti pada suku ke-$n$, nilai penjumlahan itu adalah jumlah parsial, biasanya ditulis $S_n$.

Perbedaan antara Barisan dan Deret

Tabel berikut menyandingkan kedua bentuk itu. Barisan menyimpan suku-sukunya secara berurutan, sedangkan deret menjumlahkan suku-suku itu menjadi satu nilai.

Jumlah Parsial dari Suku Barisan

Jumlah $n$ suku pertama suatu barisan disebut jumlah parsial ke-$n$:

Jadi, suatu barisan $(a_n)$ menghasilkan barisan baru $(S_n)$ yang berisi jumlah parsial. Untuk $a_n=n$:

Menjumlahkan suku-suku $a_n=n$ menghasilkan barisan baru, yaitu $1, 3, 6, 10, \dots$, dan jumlah parsial itu bertambah lebih cepat daripada suku-suku semula.

Jumlah Berhingga dan Tak Hingga

$S_{20}$ merupakan jumlah berhingga dengan dua puluh suku. Pada deret tak hingga, kita justru memeriksa apakah $S_n$ mendekati suatu limit saat $n\to\infty$.

Jadi, deret tak hingga didefinisikan melalui limit jumlah parsial. Ketika jumlah parsial menuju satu nilai tetap, deret tak hingga konvergen. Topik deret konvergen dan divergen memakai limit ini untuk memisahkan deret yang menetap dari deret yang tidak.

Latihan

Diberikan barisan $a_n=2n$. Tuliskan empat suku pertamanya, lalu tentukan empat jumlah parsial pertamanya. Jaga kedua daftar itu tetap terpisah, karena suku menggambarkan satu posisi sedangkan jumlah parsial menjumlahkan semua suku sampai posisi tersebut.

1. Tuliskan empat suku pertamanya.
2. Tentukan empat jumlah parsial pertamanya.

Penyelesaian

Substitusi $n=1,2,3,4$ ke $a_n=2n$ menghasilkan empat suku pertama, dan menjumlahkan suku-suku itu satu per satu menghasilkan keempat jumlah parsial tersebut.