For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Suatu barisan konvergen menuju jika suku-sukunya dapat dibuat sedekat mungkin dengan dengan mengambil yang cukup besar. Kita menulis:
Jika tidak ada limit berhingga, barisan tersebut divergen. Divergensi dapat terjadi dalam beberapa bentuk:
Untuk deret tak hingga:
Untuk menentukan konvergensinya, kita mempelajari barisan jumlah parsial:
Deret tersebut konvergen tepat ketika barisan jumlah parsial konvergen. Limit suku saja tidak cukup untuk menentukan apakah deret itu konvergen.
Sebuah deret disebut konvergen jika jumlah parsialnya mendekati nilai berhingga. Dalam model ideal bola memantul, misalnya, lintasan yang makin pendek dapat memiliki panjang total yang berhingga.
Jika jumlah parsial menuju , jumlah parsial sebelumnya juga menuju nilai yang sama. Selisih kedua jumlah parsial adalah suku yang baru ditambahkan:
Jadi, suku yang menuju nol adalah syarat perlu, bukan jaminan konvergensi. Kita masih harus memeriksa jumlah parsialnya.
Deret geometri konvergen jika nilai mutlak rasionya kurang dari . Ambil deret yang rasionya . Jumlah parsialnya terus mendekati , dan rumus limitnya memastikan nilai itu secara langsung.
Jika suku pertama tidak nol dan nilai mutlak rasio sekurang-kurangnya satu, deret geometri tidak memiliki jumlah berhingga. Deret dengan semua suku nol tetap konvergen menuju nol.
Sebuah deret disebut divergen jika jumlah parsialnya tidak mendekati nilai berhingga. Jumlah parsialnya dapat:
Deret divergen tidak memiliki satu limit atau bergerak tanpa batas. Dua kondisi berikut memisahkan kedua kasus itu.
Bandingkan suku-suku dengan jumlah parsialnya. Pada tiga contoh pertama, suku-suku bahkan tidak menuju nol. Deret harmonik memerlukan alasan tambahan karena sukunya justru menuju nol.
| Deret | Jumlah parsial awal | Perilaku |
|---|---|---|
| Naik tanpa batas | ||
Pada deret harmonik, kelompokkan suku setelah menjadi kelompok berisi dua, empat, delapan, dan seterusnya. Setiap kelompok menyumbang sekurang-kurangnya setengah:
Ada tak hingga banyak kelompok dengan sumbangan sedikitnya . Karena itu, jumlah parsial melewati batas berapa pun, meskipun . Inilah contoh mengapa suku menuju nol belum cukup.
Perhatikan deret:
Untuk , setiap kemungkinan rasio masuk ke salah satu kasus berikut:
Jadi, deret divergen tidak selalu mempunyai nilai . Osilasi dan penurunan tanpa batas merupakan bentuk divergensi yang berbeda.
Setiap barisan yang monoton dan terbatas pasti konvergen. Kriteria ini berguna ketika limit sulit dibaca langsung dari suatu rumus.
Jumlah parsial dari deret dengan suku-suku tak negatif tidak pernah menurun. Jika jumlah parsial tersebut juga memiliki batas atas, deretnya konvergen.
Misalnya, untuk , kita memperoleh . Setiap suku yang ditambahkan positif, sehingga jumlah parsial naik. Angka dua adalah batas atas untuk semua jumlah parsial, jadi deret tersebut konvergen.
Tabel mengumpulkan ketiga uji yang sudah dibahas, sehingga perilaku jumlah parsial, syarat suku, dan contoh yang cocok bisa dibaca bersamaan.
| Fitur | Deret Konvergen | Deret Divergen |
|---|---|---|
| Jumlah | Menuju nilai terbatas tertentu (). | Tidak menuju nilai terbatas. atau berosilasi |
| Suku umum | merupakan syarat perlu | Jika , deret pasti divergen. Meskipun demikian, juga dapat terjadi |
| Contoh | Deret geometri | Deret aritmetika selain deret nol, geometri dengan suku pertama tidak nol dan , serta harmonik |
Tentukan apakah setiap deret berikut konvergen atau divergen. Periksa dulu perilaku sukunya, karena suku yang tidak menuju nol sudah cukup menjawab pertanyaannya. Tulis kesimpulanmu untuk tiap deret sebelum membaca pembahasan.
Deret pertama merupakan deret geometri dengan , sehingga deretnya konvergen:
Suku-suku deret kedua tidak mendekati nol, sehingga deretnya divergen.
Jumlah parsial deret ketiga bergantian di antara dua nilai. Osilasi ini membuatnya gagal mendekati satu limit.
Untuk deret kedua, sehingga jumlah parsial tidak terbatas. Untuk deret ketiga, , , , dan . Dua barisan bagiannya memiliki limit berbeda, jadi seluruh barisan jumlah parsial tidak memiliki satu limit.
Diterbitkan: . Diperbarui: .
| Naik tanpa batas |
| Berganti tanda dengan nilai mutlak yang membesar |
