Perbedaan Konvergen dan Divergen

Jumlah Parsial Menentukan Konvergensi Deret

Penjumlahan suku-suku suatu barisan tak hingga membentuk deret tak hingga. Perilakunya ditentukan melalui jumlah parsial: jika jumlah parsial mendekati bilangan berhingga, deretnya konvergen. Jika tidak, deretnya divergen.

Konvergensi Barisan

Suatu barisan $(a_n)$ konvergen menuju $L$ jika suku-sukunya dapat dibuat sedekat mungkin dengan $L$ dengan mengambil $n$ yang cukup besar. Kita menulis:

Jika tidak ada limit berhingga, barisan tersebut divergen. Divergensi dapat terjadi dalam beberapa bentuk:

• $a_n=n$ bertambah tanpa batas.
• $a_n=-n$ berkurang tanpa batas.
• $a_n=(-1)^n$ berosilasi di antara dua nilai.

Dari Barisan ke Deret

Untuk deret tak hingga:

Untuk menentukan konvergensinya, kita mempelajari barisan jumlah parsial:

Deret tersebut konvergen tepat ketika barisan jumlah parsial konvergen. Limit suku $a_n$ saja tidak cukup untuk menentukan apakah deret itu konvergen.

Deret Konvergen

Sebuah deret disebut konvergen jika jumlah parsialnya mendekati nilai berhingga. Dalam model ideal bola memantul, misalnya, lintasan yang makin pendek dapat memiliki panjang total yang berhingga.

Jumlah Parsial Menuju Satu Limit

Deret konvergen memiliki dua sifat yang mengikuti perilaku jumlah parsial. Jumlah parsial menuju satu bilangan real, dan suku-sukunya harus mengecil menuju nol.

• Jumlah parsialnya (jumlah $n$ suku pertama, $S_n$) mendekati suatu nilai $L$ saat $n$ mendekati tak hingga ($\lim_{n \to \infty} S_n = L$, dengan $L$ sebagai bilangan real).
• Syarat perlu (tetapi tidak cukup): suku ke-$n$ ($u_n$) harus mendekati $0$ saat $n$ mendekati tak hingga ($\lim_{n \to \infty} u_n = 0$).

Contoh Deret Konvergen

Deret geometri konvergen jika nilai mutlak rasionya kurang dari $1$. Ambil deret $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ yang rasionya $\frac{1}{2}$. Jumlah parsialnya terus mendekati $2$, dan rumus limitnya memastikan nilai itu secara langsung.

Rasio yang sama dengan atau lebih besar dari $1$ membuat deretnya tidak punya jumlah berhingga.

Deret Divergen

Sebuah deret disebut divergen jika jumlah parsialnya tidak mendekati nilai berhingga. Jumlah parsialnya dapat:

• Terus membesar menuju tak hingga positif ($\infty$).
• Terus mengecil menuju tak hingga negatif ($-\infty$).
• Berayun (berosilasi) di antara beberapa nilai tanpa pernah menetap.

Jumlah Parsial Tidak Menetap

Deret divergen tidak memiliki satu limit atau bergerak tanpa batas. Dua kondisi berikut memisahkan kedua kasus itu.

• Jumlah parsialnya ($S_n$) tidak mendekati satu nilai $L$ tertentu saat $n$ mendekati tak hingga.
• Jika $u_n\not\to 0$, deretnya pasti divergen. Kondisi ini mencakup limit suku yang bukan nol maupun barisan suku yang tidak memiliki limit.

Deret yang Divergen

Ketiga keluarga deret di bawah divergen karena alasan yang berbeda. Deret harmonik menunjukkan bahwa suku yang mengecil saja tidak cukup memaksa konvergensi.

• Deret Aritmetika (selain $0 + 0 + \dots$): Jumlah parsialnya bertambah menuju $\infty$ atau berkurang menuju $-\infty$.

  Misalnya: $1 + 2 + 3 + 4 + \dots$ (menuju $\infty$)

• Deret Geometri dengan $|r| \ge 1$:

  • Jika $r \ge 1$, jumlah parsialnya menuju $\pm \infty$, bergantung pada tanda suku pertama.

    Contoh: $2 + 4 + 8 + 16 + \dots$ (menuju $\infty$)

  • Jika $r \le -1$, jumlah parsialnya berosilasi.

    Contoh: $1 - 2 + 4 - 8 + \dots$ (Jumlah parsialnya: $1, -1, 3, -5, \dots$ tidak menuju satu nilai)

• Deret Harmonik: Pada $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$, suku ke-$n$, yaitu $u_n = \frac{1}{n}$, mendekati $0$, tetapi jumlah parsialnya tetap bertambah menuju tak hingga $\infty$. Jadi, $u_n \to 0$ harus terpenuhi agar deret dapat konvergen, tetapi syarat tersebut belum cukup untuk menjamin konvergensi.

Klasifikasi Lengkap Deret Geometri

Perhatikan deret:

Untuk $a\ne0$, setiap kemungkinan rasio masuk ke salah satu kasus berikut:

• Jika $|r|<1$, deret konvergen menuju $a/(1-r)$.
• Jika $r=1$, jumlah parsialnya adalah $na$ dan deret divergen.
• Jika $r=-1$, jumlah parsialnya bergantian di antara dua nilai.
• Jika $|r|>1$, suku-sukunya bahkan tidak mendekati nol.

Jadi, deret divergen tidak selalu mempunyai nilai $\infty$. Osilasi dan penurunan tanpa batas merupakan bentuk divergensi yang berbeda.

Barisan yang Bergerak Satu Arah dan Terbatas

Setiap barisan yang monoton dan terbatas pasti konvergen. Kriteria ini berguna ketika limit sulit dibaca langsung dari suatu rumus.

Jumlah parsial dari deret dengan suku-suku tak negatif selalu naik. Jika jumlah parsial tersebut juga memiliki batas atas, deretnya konvergen.

Perbandingan Deret Konvergen dan Divergen

Tabel mengumpulkan ketiga uji yang sudah dibahas, sehingga perilaku jumlah parsial, syarat suku, dan contoh yang cocok bisa dibaca bersamaan.

Latihan

Tentukan apakah setiap deret berikut konvergen atau divergen. Periksa dulu perilaku sukunya, karena suku yang tidak menuju nol sudah cukup menjawab pertanyaannya. Tulis kesimpulanmu untuk tiap deret sebelum membaca pembahasan.

1. $\sum_{k=0}^{\infty}3(1/4)^k$
2. $\sum_{k=1}^{\infty}1$
3. $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$

Penyelesaian

1. Deret pertama merupakan deret geometri dengan $|r|=1/4<1$, sehingga deretnya konvergen:

   $$\frac{3}{1-1/4}=4$$

2. Suku-suku deret kedua tidak mendekati nol, sehingga deretnya divergen.

3. Jumlah parsial deret ketiga bergantian di antara dua nilai. Osilasi ini membuatnya gagal mendekati satu limit.