Sifat Argumen Utama Bilangan Kompleks

Menjumlahkan dan Mengurangkan Sudut pada Operasi Bilangan Kompleks

Perkalian menggabungkan arah dengan menjumlahkan sudut, sedangkan pembagian membandingkan arah dengan mengurangkannya. Misalkan $z_1$ dan $z_2$ adalah bilangan kompleks tak nol dalam bentuk polar:

Pada persamaan tersebut, $\theta_1$ adalah salah satu argumen dari $z_1$, sedangkan $\theta_2$ adalah salah satu argumen dari $z_2$.

Argumen Hasil Kali

Argumen dari hasil kali dua bilangan kompleks ($z_1 \times z_2$) adalah jumlah dari argumen masing-masing bilangan kompleks.

Kesamaan berikut dipahami modulo satu putaran penuh:

Ini berarti jika $\theta_1$ adalah argumen $z_1$ dan $\theta_2$ adalah argumen $z_2$,

maka $\theta_1 + \theta_2$ adalah salah satu argumen dari $z_1 z_2$.

Untuk mencari Argumen Utama $\text{Arg}(z_1 z_2)$:

1. Hitung $\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2)$.
2. Jika hasilnya sudah berada dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$ atau $(-\pi, \pi]$, hasil itu adalah Argumen Utamanya.
3. Jika belum, tambahkan atau kurangkan putaran penuh sampai hasilnya masuk ke interval tersebut.

Argumen Hasil Bagi

Argumen dari hasil bagi dua bilangan kompleks ($\frac{z_1}{z_2}$, dengan $z_2 \neq 0$) adalah selisih dari argumen bilangan kompleks pembilang ($z_1$) dikurangi argumen bilangan kompleks penyebut ($z_2$).

Sekali lagi, kesamaan berikut dipahami modulo satu putaran penuh:

Ini berarti jika $\theta_1$ adalah argumen $z_1$ dan $\theta_2$ adalah argumen $z_2$,

maka $\theta_1 - \theta_2$ adalah salah satu argumen dari $\frac{z_1}{z_2}$.

Untuk mencari Argumen Utama $\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$:

1. Hitung $\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2)$.
2. Jika hasilnya sudah berada dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$ atau $(-\pi, \pi]$, hasil itu adalah Argumen Utamanya.
3. Jika belum, masukkan hasilnya ke interval tersebut dengan langkah putaran penuh yang sama seperti pada hasil kali.

Penggunaan Sifat Argumen

Diberikan dua bilangan kompleks:

Tentukan Argumen Utama dari $z_1 \times z_2$ dan $\frac{z_1}{z_2}$.

Penyelesaian:

Kita tahu Argumen Utama dari masing-masing adalah:

1. Argumen Hasil Kali ($z_1 \times z_2$):

   Jumlah Argumen Utama:

   $$\begin{aligned} \text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) &= 45^\circ + 95^\circ \\ &= 140^\circ \end{aligned}$$

   Karena $140^\circ$ sudah berada dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$:

   $$\text{Arg}(z_1 \times z_2) = 140^\circ$$

   Himpunan semua argumennya adalah $\{140^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$

2. Argumen Hasil Bagi ($\frac{z_1}{z_2}$):

   Selisih Argumen Utama:

   $$\begin{aligned} \text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2) &= 45^\circ - 95^\circ \\ &= -50^\circ \end{aligned}$$

   Karena $-50^\circ$ sudah berada dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$:

   $$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = -50^\circ$$

   Himpunan semua argumennya adalah $\{-50^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$.

Latihan

Kedua bilangan sudah ditulis dalam bentuk polar, sehingga kedua argumennya dapat digabungkan langsung, dan selang argumen utama menentukan apakah hasilnya perlu ditambah atau dikurangi satu putaran penuh. Diketahui $z_a = 4(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$ dan $z_b = 2(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)$. Tentukan:

1. $\text{Arg}(z_a \times z_b)$
2. $\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right)$

Pembahasan

Diketahui $\text{Arg}(z_a) = 120^\circ$ dan $\text{Arg}(z_b) = 50^\circ$.

Modulus yang positif tidak mengubah arah kedua bilangan kompleks, sehingga kita hanya memerlukan kedua argumennya.

1. Argumen Hasil Kali:

   $$\begin{aligned} \text{Arg}(z_a) + \text{Arg}(z_b) &= 120^\circ + 50^\circ \\ &= 170^\circ \end{aligned}$$

   Karena $170^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$, $\text{Arg}(z_a z_b) = 170^\circ$.

2. Argumen Hasil Bagi:

   $$\begin{aligned} \text{Arg}(z_a) - \text{Arg}(z_b) &= 120^\circ - 50^\circ \\ &= 70^\circ \end{aligned}$$

   Karena $70^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$, $\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right) = 70^\circ$.