Sifat Perkalian Bilangan Kompleks

Empat Aturan Perkalian Bilangan Kompleks

Perkalian bilangan kompleks mengikuti hukum komutatif, asosiatif, identitas, dan distributif yang sudah dikenal. Misalkan $z_1, z_2,$ dan $z_3$ adalah sembarang bilangan kompleks. Setiap hukum diperiksa dengan satu contoh bilangan, sehingga kamu dapat mengikuti sendiri penguraian hasil kalinya.

Komutatif

Sifat komutatif berarti urutan dalam perkalian dua bilangan kompleks tidak memengaruhi hasil perkalian.

z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1

Contoh:

Misal $z_1 = 1+2i$ dan $z_2 = 3-i$ .

\begin{aligned}z_1 \times z_2 &= (1+2i)(3-i) \\ &= 1(3-i) + 2i(3-i) \\ &= 3-i+6i-2i^2 \\ &= 3+5i-2(-1) \\ &= 5+5i\end{aligned}

Kedua hasil kali bernilai $5+5i$ , sehingga sifat komutatif terverifikasi pada contoh ini.

Asosiatif

Sifat asosiatif menyatakan bahwa saat mengalikan tiga bilangan kompleks atau lebih, pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil.

(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)

Contoh:

Misal $z_1 = i$ , $z_2 = 2$ , dan $z_3 = 3-i$ .

\begin{aligned}(z_1 \times z_2) \times z_3 &= (i \times 2) \times (3-i) \\ &= 2i(3-i) \\ &= 6i - 2i^2 \\ &= 6i - 2(-1) \\ &= 2+6i\end{aligned}

Kedua pengelompokan bernilai $2+6i$ , sehingga sifat asosiatif terverifikasi pada contoh ini.

Identitas Perkalian

Bilangan kompleks $1 = 1+0i$ adalah elemen identitas untuk perkalian. Artinya, mengalikan bilangan kompleks apa pun dengan $1$ menghasilkan bilangan kompleks yang sama.

z \times 1 = z = 1 \times z

Contoh:

Misal $z = 4-7i$ .

\begin{aligned} z \times 1 &= (4-7i)(1+0i) \\ &= 4(1) - (-7)(0) \\ &\quad{}+ i(4(0) + (-7)(1)) \\ &= 4 - 7i \\ &= z \end{aligned}

Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

Sifat ini menghubungkan operasi perkalian dan penjumlahan bilangan kompleks.

\begin{aligned} &z_1 \times (z_2 + z_3) \\ &= (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) \end{aligned}

Contoh:

Misal $z_1=2$ , $z_2 = 1+i$ , $z_3 = 3-2i$ .

Ruas kiri: $z_1 \times (z_2 + z_3)$

\begin{aligned} &z_1 \times (z_2 + z_3) \\ &= 2 \times ((1+i) + (3-2i)) \end{aligned}

Ruas kanan: $(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)$

\begin{aligned} (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) &= (2(1+i)) \\ &\quad{}+ (2(3-2i)) \end{aligned}

Kedua ruas bernilai $8-2i$ , sehingga hukum distributif terverifikasi pada contoh ini.

Contoh Pembuktian Menggunakan Sifat

Hukum yang sama dapat digunakan untuk membuktikan identitas aljabar. Untuk sembarang $z_1, z_2$ , uraikan $(z_1 + z_2)^2$ sebagai berikut:

Tuliskan kuadrat sebagai perkalian dua faktor yang sama:

\begin{aligned} &(z_1+z_2)^2 \\ &=(z_1+z_2)(z_1+z_2) \end{aligned}

Gunakan sifat distributif:

=z_1(z_1+z_2) +z_2(z_1+z_2)

Gunakan sifat distributif:

=(z_1z_1+z_1z_2) +(z_2z_1+z_2z_2)

Tuliskan perkalian faktor yang sama sebagai kuadrat:

\begin{aligned} &=z_1^2+z_1z_2+z_2z_1+z_2^2 \end{aligned}

Gunakan sifat komutatif, $z_2z_1=z_1z_2$ :

=z_1^2+z_1z_2+z_1z_2+z_2^2

Gabungkan suku-suku sejenis:

= z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2

Invers Perkalian

Setiap bilangan kompleks $z = x + iy \neq 0$ memiliki invers perkalian, dinotasikan sebagai $z^{-1}$ atau $1/z$ , sedemikian sehingga $z \times z^{-1} = 1$ .

Misalkan $z^{-1} = u + iv$ . Maka:

z \times z^{-1} = 1

Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, kita peroleh sistem persamaan:

$xu - yv = 1$
$xv + uy = 0$

Untuk mengisolasi $u$ , kalikan persamaan pertama dengan $x$ dan persamaan kedua dengan $y$ , lalu jumlahkan:

x^2u-xyv=x

Untuk mengisolasi $v$ , kalikan persamaan pertama dengan $-y$ dan persamaan kedua dengan $x$ , lalu jumlahkan. Karena $z\neq0$ , berlaku $x^2+y^2>0$ sehingga kita boleh membagi dengan nilai tersebut:

-xyu+y^2v=-y

u = \frac{x}{x^2+y^2}

Jadi, invers perkalian dari $z = x+iy$ adalah:

z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Perhatikan bahwa $x^2+y^2 = |z|^2$ dan $x-iy = \bar{z}$ . Maka rumus invers bisa juga ditulis sebagai:

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Empat Aturan Perkalian Bilangan Kompleks

Komutatif

Sifat komutatif berarti urutan dalam perkalian dua bilangan kompleks tidak memengaruhi hasil perkalian.

z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1

Contoh:

Misal $z_1 = 1+2i$ dan $z_2 = 3-i$ .

\begin{aligned}z_1 \times z_2 &= (1+2i)(3-i) \\ &= 1(3-i) + 2i(3-i) \\ &= 3-i+6i-2i^2 \\ &= 3+5i-2(-1) \\ &= 5+5i\end{aligned}

Kedua hasil kali bernilai $5+5i$ , sehingga sifat komutatif terverifikasi pada contoh ini.

Asosiatif

Sifat asosiatif menyatakan bahwa saat mengalikan tiga bilangan kompleks atau lebih, pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil.

(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)

Contoh:

Misal $z_1 = i$ , $z_2 = 2$ , dan $z_3 = 3-i$ .

\begin{aligned}(z_1 \times z_2) \times z_3 &= (i \times 2) \times (3-i) \\ &= 2i(3-i) \\ &= 6i - 2i^2 \\ &= 6i - 2(-1) \\ &= 2+6i\end{aligned}

Kedua pengelompokan bernilai $2+6i$ , sehingga sifat asosiatif terverifikasi pada contoh ini.

Identitas Perkalian

Bilangan kompleks $1 = 1+0i$ adalah elemen identitas untuk perkalian. Artinya, mengalikan bilangan kompleks apa pun dengan $1$ menghasilkan bilangan kompleks yang sama.

z \times 1 = z = 1 \times z

Contoh:

Misal $z = 4-7i$ .

\begin{aligned} z \times 1 &= (4-7i)(1+0i) \\ &= 4(1) - (-7)(0) \\ &\quad{}+ i(4(0) + (-7)(1)) \\ &= 4 - 7i \\ &= z \end{aligned}

Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

Sifat ini menghubungkan operasi perkalian dan penjumlahan bilangan kompleks.

\begin{aligned} &z_1 \times (z_2 + z_3) \\ &= (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) \end{aligned}

Contoh:

Misal $z_1=2$ , $z_2 = 1+i$ , $z_3 = 3-2i$ .

Ruas kiri: $z_1 \times (z_2 + z_3)$

\begin{aligned} &z_1 \times (z_2 + z_3) \\ &= 2 \times ((1+i) + (3-2i)) \end{aligned}

Ruas kanan: $(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)$

\begin{aligned} (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) &= (2(1+i)) \\ &\quad{}+ (2(3-2i)) \end{aligned}

Kedua ruas bernilai $8-2i$ , sehingga hukum distributif terverifikasi pada contoh ini.

Contoh Pembuktian Menggunakan Sifat

Hukum yang sama dapat digunakan untuk membuktikan identitas aljabar. Untuk sembarang $z_1, z_2$ , uraikan $(z_1 + z_2)^2$ sebagai berikut:

Tuliskan kuadrat sebagai perkalian dua faktor yang sama:

\begin{aligned} &(z_1+z_2)^2 \\ &=(z_1+z_2)(z_1+z_2) \end{aligned}

Gunakan sifat distributif:

=z_1(z_1+z_2) +z_2(z_1+z_2)

Gunakan sifat distributif:

=(z_1z_1+z_1z_2) +(z_2z_1+z_2z_2)

Tuliskan perkalian faktor yang sama sebagai kuadrat:

\begin{aligned} &=z_1^2+z_1z_2+z_2z_1+z_2^2 \end{aligned}

Gunakan sifat komutatif, $z_2z_1=z_1z_2$ :

=z_1^2+z_1z_2+z_1z_2+z_2^2

Gabungkan suku-suku sejenis:

= z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2

Invers Perkalian

Setiap bilangan kompleks $z = x + iy \neq 0$ memiliki invers perkalian, dinotasikan sebagai $z^{-1}$ atau $1/z$ , sedemikian sehingga $z \times z^{-1} = 1$ .

Misalkan $z^{-1} = u + iv$ . Maka:

z \times z^{-1} = 1

Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, kita peroleh sistem persamaan:

$xu - yv = 1$
$xv + uy = 0$

Untuk mengisolasi $u$ , kalikan persamaan pertama dengan $x$ dan persamaan kedua dengan $y$ , lalu jumlahkan:

x^2u-xyv=x

Untuk mengisolasi $v$ , kalikan persamaan pertama dengan $-y$ dan persamaan kedua dengan $x$ , lalu jumlahkan. Karena $z\neq0$ , berlaku $x^2+y^2>0$ sehingga kita boleh membagi dengan nilai tersebut:

-xyu+y^2v=-y

u = \frac{x}{x^2+y^2}

Jadi, invers perkalian dari $z = x+iy$ adalah:

z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Perhatikan bahwa $x^2+y^2 = |z|^2$ dan $x-iy = \bar{z}$ . Maka rumus invers bisa juga ditulis sebagai:

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}